《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

8. 在下列条件：① $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$；② $\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$；③ $\angle A = \angle B = 2\angle C$；④ $\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C$；⑤ $\angle A = \angle B = \frac{1}{2}\angle C$ 中,能确定 $\triangle ABC$ 为直角三角形的条件有②④⑤。(填序号)

答案： ②④⑤

9. 如图 13 - 3 - 1 - 2 - 6,在 $\triangle ACB$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为 $D$。
(1)求证：$\angle ACD = \angle B$；
(2)若 $AF$ 平分 $\angle CAB$,分别交 $CD$,$BC$ 于 $E$,$F$,求证：$\angle CEF = \angle CFE$。

答案： 证明:
(1)
∵ ∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴ ∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴ ∠ACD=∠B。
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF。同理,在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE。又
∵ AF平分∠CAB,
∴ ∠CAF=∠DAE,
∴ ∠AED=∠CFE,又
∵ ∠CEF=∠AED,
∴ ∠CEF=∠CFE。

10. (新定义)定义：如果一个三角形的两个内角 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足 $\alpha + 2\beta = 90^{\circ}$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1)若 $\triangle ABC$ 是“准互余三角形”,$\angle C ＞ 90^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,则 $\angle A = $15°；
(2)如图 13 - 3 - 1 - 2 - 7,$\triangle ABC$ 是直角三角形,$\angle ACB = 90^{\circ}$,若 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,则 $\triangle ABD$ 是“准互余三角形”吗？说明理由。


△ABD是“准互余三角形”。理由如下:∵ AD是△ABC的角平分线,∴ ∠BAC=2∠BAD。∵ ∠ACB=90°,∴ ∠BAC+∠B=90°,∴ 2∠BAD+∠B=90°,

答案： 15°
@@△ABD是“准互余三角形”。理由如下:
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAC=2∠BAD。
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠BAC+∠B=90°,
∴ 2∠BAD+∠B=90°,