《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

6. 小明发现任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差能被$4$整除。
(1)$( - 1)^2 - ( - 3)^2的结果是4$的几倍？
(2)设三个连续整数中间的一个数为$n$,计算最大数与最小数的平方差,并说明它能被$4$整除；
(3)延伸：任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差能被$8$整除,请说明理由。

答案： 解:
(1)$(-1)^{2}-(-3)^{2}=1-9=-8=4×(-2)$,结果是4的(-2)倍;
(2)设三个连续整数中间的一个数为n,则最大的数为$n+1$,最小的数为$n-1$,
$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}+2n-1=4n$,
∵n是整数,
∴最大数与最小数的平方差能被4整除;
(3)设中间的一个数为$2n-1$,则这三个连续的奇数为$2n-3$,$2n-1$,$2n+1$,
则最大数与最小数的平方差为:
$(2n+1)^{2}-(2n-3)^{2}=4n^{2}+4n+1-4n^{2}+12n-9=16n-8=8(2n-1)$,
故最大数与最小数的平方差能被8整除。

7. 你能化简$(m - 1)(m^{99} + m^{98} + … + m + 1)$吗？遇到这样的复杂问题时,我们可以先从简单的情形入手,探究归纳出一些方法。
(1)分别化简下列各式：
$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1$；
$(m - 1)(m^2 + m + 1) = $$m^{3}-1$；
$(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1) = $$m^{4}-1$；
$(m - 1)(m^n + m^{n - 1} + m^{n - 2} + … + m + 1) = $$m^{n+1}-1$。
(2)请你利用上面的结论计算：$2^{99} + 2^{98} + 2^{97} + … + 2 + 1$,写出计算过程。
$2^{99}+2^{98}+2^{97}+…+2+1=(2-1)(2^{99}+2^{98}+2^{97}+…+2+1)=2^{100}-1$
(3)根据以上计算经验,直接写出$3^n + 3^{n - 1} + 3^{n - 2} + … + 3 + 1$的结果：$\frac{3^{n+1}-1}{2}$。

答案： 解:
(1)$m^{3}-1$ $m^{4}-1$ $m^{n+1}-1$
(2)$2^{99}+2^{98}+2^{97}+…+2+1=(2-1)(2^{99}+2^{98}+2^{97}+…+2+1)=2^{100}-1$;
(3)$\frac{3^{n+1}-1}{2}$

8. 先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题。
求代数式$y^2 + 4y + 8$的最小值。
解：$y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4$,
$\because (y + 2)^2\geq0$,
$\therefore (y + 2)^2 + 4\geq4$,
$\therefore y^2 + 4y + 8的最小值是4$。
(1)求代数式$m^2 + m + 1$的最小值；
(2)求代数式$4 - x^2 + 2x$的最大值。

答案： 解:
(1)$m^{2}+m+1=m^{2}+m+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$,
∴$m^{2}+m+1$的最小值是$\frac{3}{4}$。
(2)$4-x^{2}+2x=-x^{2}+2x-1+5=-(x-1)^{2}+5≤5$,
∴$4-x^{2}+2x$的最大值是5。

9. 试说明不论$x$,$y$取何值,代数式$x^2 + y^2 + 6x - 4y + 15$的值总是正数。

答案： 解:原式$=x^{2}+6x+9+y^{2}-4y+4+2=(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+2$,
∵$(x+3)^{2}≥0$,$(y-2)^{2}≥0$,
∴$(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+2≥2$,
∴代数式$x^{2}+y^{2}+6x-4y+15$的值总是正数。