《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

5. (1)尺规作图：在△ABC内求作一点O,使点O到三边的距离相等。(不写作法,作图保留痕迹)
(2)若△ABC的周长为60,面积为150,试求点O到三边AB,BC,AC的距离分别是多少。

答案：
(1)如图所示，O点即为所求。
(2)设点O到三边AB,BC,AC的距离为r,根据题意，得$\frac{1}{2}$×60r=150,解得r=5。故点O到三边AB,BC,AC的距离都为5。

6. 如图14-3-2-10,在△ABC中,∠B = 42°,AD⊥BC,垂足为D,点E是BD上一点,EF⊥AB,垂足为F,若ED = EF,则∠AEC的度数为(D)

A.60°

B.62°
C.64°
D.66°

答案： D

7. 如图14-3-2-11,直线l,l',l''表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)

A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

答案： D

8. 如图14-3-2-12,在Rt△ABC中,∠C = 90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形。
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC = 5,BC = 12,AB = 13,求OE的长。

答案：
(1)证明:过点O作OM⊥AB,垂足为M,
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF,OE⊥BC,OF⊥AC。
∵BD是Rt△ABC的一条角平分线,OM⊥AB,OE⊥BC,
∴OE=OM,
∴OM=OF,
∴点O在∠BAC的平分线上。
(2)解:
∵在△ABC中,AC=5,BC=12,AB =13,∠C=90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AC=$\frac{1}{2}$×5×12=30,又S△ABC=$\frac{1}{2}$AC×OF+$\frac{1}{2}$BC×OE+$\frac{1}{2}$AB ×OM=$\frac{1}{2}$(5+12+13)×OE,
∴OE=2。

$9. $如图$14-3-2-13,△ABC$与$△AED$中$,∠E = ∠C,DE = BC,EA = CA,$过点$A$作$AF⊥DE,$垂足为$F,DE$交$CB$的延长线于点$G,$连接$AG。$　　
$(1)$求证：$GA$平分$∠DGB；$　　
$(2)$若$S_{四边形DGBA} = 6,AF = \frac{3}{2},$求$FG$的长。　　

答案：
(1)证明:过点A作AH⊥BC,垂足为H,在△ABC和△ADE中,∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴S△ABC=S△ADE,即$\frac{1}{2}$DE·AF=$\frac{1}{2}$BC·AH,
∴AF=AH。又
∵AF⊥DE,AH⊥BC,
∴∠AGF=∠AGH,即GA平分∠DGB。
(2)解:
∵△ABC≌△ADE,
∴AD=AB。又
∵AF⊥DE,AH⊥BC,AF=AH,
∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL),
∴S四边形DGBA=S四边形AFGH=6,同理可得,Rt△AFG≌Rt△AHG,
∴S△AFG=3,
∵AF=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×FG×$\frac{3}{2}$=3,解得FG=4。