《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

1. 已知点 $ A,B $ 都在直线 $ l $ 的上方,试用尺规作图在直线 $ l $ 上求作一点 $ P $,使得 $ PA + PB $ 的值最小,则下列作法正确的是 (D)

答案： D

2. 如图 1 的 $ 4 × 4 $ 正方形网格中,有 $ A,B $ 两点,在直线 $ a $ 上求一点 $ P $,使 $ PA + PB $ 最短,则点 $ P $ 应选在 (A)

A.$ C $ 点
B.$ D $ 点
C.$ E $ 点
D.$ F $ 点

答案： A

3. 如图 2,线段 $ AB $ 与线段 $ CD $ 关于直线 $ l $ 对称,点 $ P $ 是直线 $ l $ 上一动点,测得点 $ D $ 与点 $ A $ 之间的距离为 $ 8 cm $,点 $ B $ 与点 $ D $ 之间的距离为 $ 5 cm $,那么 $ PA + PB $ 的最小值是8 cm。

答案： 8 cm

4. 如图 3,一个旅游船从大桥 $ AB $ 上的 $ P $ 处前往山脚下的 $ Q $ 处接游客,然后送往河岸 $ BC $ 上,再回到 $ P $ 处,请画出旅游船的最短路线。

活动二 牧民饮马问题的拓展
【解题技巧】(1)对称变换:分别作 $ A,B $ 两点关于草地边和河岸的对称点 $ A',B' $;(2)线段最短:连接 $ A'B' $,与草地边、河岸分别交于点 $ C,D $,点 $ C $ 为牧马点,点 $ D $ 为饮马点。若起点、牧马点、饮马点动态变化,需先固定起点,再求最短距离。

答案： 解:连接 PQ,作 P 关于 BC 的对称点 $ P_1 $,连接 $ QP_1 $,交 BC 于点 M,再连接 MP,最短路线即为 PQMP(图略)。

5. 如图 4,某地有块三角形空地 $ AOB $,已知 $ \angle AOB = 30^{\circ} $,$ P $ 是 $ \triangle AOB $ 内一点,连接 $ PO $ 后测得 $ PO = 10 m $,现当地政府欲在三角形空地 $ AOB $ 中修一个三角形花坛 $ PQR $,点 $ Q,R $ 分别是 $ OA,OB $ 边上的任意一点 (不与顶点重合),则 $ \triangle PQR $ 周长的最小值为 (C)

A.$ 6 m $
B.$ 8 m $
C.$ 10 m $
D.$ 12 m $

答案： C