《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

6. 已知：如图15-3-2-1-8,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BA,CA的延长线上,且AD = AE。求证：△ADE是等边三角形。

答案： 证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠DAE=∠BAC=60°。
∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形。

7. 已知∠AOB = 30°,点P在∠AOB内部$,P_1$与P关于OB对称$,P_2$与P关于OA对称,则$P_1,O,P_2$三点所构成的三角形是(D)
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

答案： D

8. 如图15-3-2-1-9,在△ABC中,∠B = 60°,∠EDC = ∠BAC,且D为BC的中点,DE = CE,则AE:AB的值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

9. 如图15-3-2-1-10,点P在等边△ABC内,点Q在等边△ABC外,且∠ABP = ∠ACQ,BP = CQ,问△APQ是什么形状的三角形,试说明你的结论。
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答案： 解:△APQ是等边三角形。证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC。在△ABP和△ACQ中,{AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ。
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形。

10. 如图15-3-2-1-11,在△ABC中,AB = AC,∠ACB ＞ 60°,在AC边上取点D,连接BD,使BD = BC。以AD为一边作等边△ADE,且使点E与点B位于直线AC的同侧,∠EAB = 2∠BAC。
(1) 求∠BDE的度数；
(2) 点F在AB上,连接DF,DF = BD,请判断△BDF是否是等边三角形,并说明理由。
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答案：
(1)在等边△ADE中,∠EAC=∠ADE=60°,
∵∠EAB=2∠BAC,
∴∠BAC=20°。
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=80°。
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=80°。
∴∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=40°。
(2)△BDF是等边三角形。理由如下:由
(1)可得∠BDC=∠ACB=80°,
∴∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=20°。
∵∠ABC=80°,
∴∠FBD=∠ABC-∠CBD=60°。
∵DF=BD,
∴△BDF是等边三角形。