《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

5. 一套衣服的上衣和裤子共 100 元. 因市场需求变化,商家决定分开销售,裤子降价 10%,上衣提价 20%,调价后,这套衣服的售价比原来提高了 8 元. 调价后上衣和裤子的售价各是多少元?

答案： 设调价前上衣价格为$x$元，裤子价格为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 100,\\(1 + 20\%)x + (1 - 10\%)y = 100 + 8.\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 100,\\1.2x + 0.9y = 108.\end{cases}$
由$x + y = 100$可得$y = 100 - x$，将其代入$1.2x + 0.9y = 108$中：
$1.2x + 0.9×(100 - x)=108$
$1.2x + 90 - 0.9x = 108$
$1.2x - 0.9x = 108 - 90$
$0.3x = 18$
$x = 60$
把$x = 60$代入$y = 100 - x$，得$y = 100 - 60 = 40$。
调价后上衣售价为$(1 + 20\%)×60 = 72$（元）。
调价后裤子售价为$(1 - 10\%)×40 = 36$（元）。
答：调价后上衣售价为$72$元，裤子售价为$36$元。

6. 某生产教具的厂家准备生产正方体教具,教具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒,一个顶点由一个金属球镶嵌),并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装.
(1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具,该车间共有 33 名工人,每个工人每天可生产塑料棒 100 根或者金属球 80 个,如果你是车间主任,你将如何分配工人成套生产正方体教具?
(2)现某中学购买两种档次的正方体教具共 100 套(价格如下表所示),若恰好用了 1800 元,请问该学校应该如何购买该教具?

答案：
(1)18人生产塑料棒，15人生产金属球；
(2)购买高档40套和低档60套，或中档80套和低档20套。

7. 随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售,据了解,2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型汽车的进价共计 80 万元;3 辆 A 型汽车、2 辆 B 型汽车的进价共计 95 万元.
(1)求 A,B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元.
(2)若该公司计划正好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),请你帮助该公司设计购买方案.
(3)若该汽车销售公司销售 1 辆 A 型汽车可获利 8000 元,销售 1 辆 B 型汽车可获利 5000 元,在(2)的购买方案中,假如这些新能源汽车全部售出,哪种方案获利最大? 最大利润是多少元?

答案：
(1)设A型汽车每辆进价为$x$万元，B型汽车每辆进价为$y$万元，根据题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 80 \\3x + 2y = 95\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 25 \\y = 10\end{cases}$
答：A型汽车每辆进价25万元，B型汽车每辆进价10万元。
(2)设购买A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆，$m,n$为正整数，根据题意得：
$25m + 10n = 200$，化简得$5m + 2n = 40$，则$n = \frac{40 - 5m}{2}$。
因为$m,n$为正整数，所以$40 - 5m$为偶数且$40 - 5m ＞ 0$，即$m$为偶数且$m ＜ 8$。
当$m = 2$时，$n = 15$；当$m = 4$时，$n = 10$；当$m = 6$时，$n = 5$。
购买方案有：
方案一：购买A型2辆，B型15辆；
方案二：购买A型4辆，B型10辆；
方案三：购买A型6辆，B型5辆。
(3)方案一利润：$2×8000 + 15×5000 = 91000$元；
方案二利润：$4×8000 + 10×5000 = 82000$元；
方案三利润：$6×8000 + 5×5000 = 73000$元。
因为$91000 ＞ 82000 ＞ 73000$，所以方案一获利最大，最大利润91000元。
答：方案一获利最大，最大利润91000元。