《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

10. (营口期末)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 $ 1 $,$ \triangle ABC $ 的顶点都在网格线的交点上,点 $ B $ 关于 $ y $ 轴的对称点的坐标为 $ (2,0) $,点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标为 $ (-1,-2) $。
(1)根据上述条件,在网格中建立平面直角坐标系 $ xOy $；
(2)画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
(3)写出点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标；
(4)求 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 的面积。

答案：
(1) 因为点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标为 $(2,0)$，所以 $B$ 点坐标为 $(-2,0)$；点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为 $(-1,-2)$，所以 $C$ 点坐标为 $(-1,2)$。
由此在网格中建立平面直角坐标系 $xOy$，原点在 $B$ 点右侧$2$个单位，$x$ 轴水平，$y$ 轴垂直。
(2) $A$ 点坐标为 $(-2,4)$，关于 $y$ 轴对称点 $A_1(2,4)$；$B$ 点关于 $y$ 轴对称点 $B_1(2,0)$；$C$ 点关于 $y$ 轴对称点 $C_1(1,2)$。连接 $A_1B_1$，$A_1C_1$，$B_1C_1$，得到 $\triangle A_1B_1C_1$。
(3) 点 $A(-2,4)$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(-2,-4)$。
(4) $\triangle A_1B_1C_1$ 的面积：
$S = \frac{1}{2}×\begin{vmatrix} 2 - 2 & 4 - 0 & 1 - 0\\ 2 - 2 & 0 - 0 & 1 - 0\\ 1 - 2 & 2 - 0 & 1 - 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}×\begin{vmatrix} 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$S=\frac{1}{2}×|0×(0×1 - 1×2) - 4×(0×1 - 1×(-1)) + 1×(0×2 - 0×(-1))|$
$S=\frac{1}{2}×|0 - 4 + 0| = 2$
故 $\triangle A_1B_1C_1$ 的面积为 $2$。
故答案为：
(1)见上述解析；
(2)见上述解析；
(3)$(-2,-4)$；
(4)$2$。

11. 如图,在平面直角坐标系中,已知两点 $ A(0,4) $,$ B(8,2) $,点 $ P $ 是 $ x $ 轴上的一点,求 $ PA + PB $ 的最小值。

答案： 作点A关于x轴的对称点A'，A(0,4)关于x轴对称的点A'坐标为(0,-4)。
连接A'B，与x轴交于点P，此时PA+PB最小，且PA+PB=A'B。
点A'(0,-4)，B(8,2)，由两点间距离公式得：
A'B=√[(8-0)²+(2-(-4))²]=√[8²+6²]=√(64+36)=√100=10。
故PA+PB的最小值为10。
10

12. 如图,在平面直角坐标系中,对 $ \triangle ABC $ 进行循环往复的轴对称变换,若原来点 $ A $ 的坐标是 $ (a,b) $,则经过第 $ 2026 $ 次变换后所得的点 $ A_{2026} $ 的坐标是$(-a, -b)$。

答案： $(-a, -b)$

13. 如图,直线 $ l $ 是第一、三象限的角平分线,点 $ P $ 与 $ P' $ 关于直线 $ l $ 对称,已知点 $ P $ 的坐标为 $ (a,b) $,则 $ P' $ 的坐标是$(b,a)$。

答案： $(b,a)$

14. 如图,在平面直角坐标系中有一 $ \triangle ABC $ 和一条直线 $ m $(直线 $ m $ 上各点的横坐标都为 $ 1 $)。
(1)作出 $ \triangle ABC $ 关于直线 $ m $ 的对称图形,分别写出点 $ A $,$ B $,$ C $ 的对应点的坐标；
(2)若在 $ \triangle ABC $ 的边上有任意一点 $ M(x,y) $,直接写出点 $ M $ 关于直线 $ m $ 的对应点的坐标。

答案：
(1) 由图可知，△ABC 顶点坐标为 A(-1,2)，B(-3,4)，C(-4,1)。直线 m 为 x=1，关于直线 x=1 对称的点，纵坐标不变，横坐标满足 x' = 2×1 - x = 2 - x。
A'的坐标：2 - (-1)=3，即 A'(3,2)；
B'的坐标：2 - (-3)=5，即 B'(5,4)；
C'的坐标：2 - (-4)=6，即 C'(6,1)。
(2) 点 M(x,y)关于直线 m(x=1)对称的点，纵坐标不变，横坐标为 2 - x，故对应点坐标为(2 - x,y)。
(1) A'(3,2)，B'(5,4)，C'(6,1)；
(2) (2 - x,y)