《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

4. 甲、乙两车分别从$A,B两地去同一城市C$,他们离$A地的路程y$(单位:km)随时间$x$(单位:h)变化的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)$A,B$两地的路程为40km;
(2)求乙车离$A地的路程y$(单位:km)关于时间$x$(单位:h)的函数表达式;
(3)当两车相距 10km 时,求乙车的行驶时间.

(2)设乙车离$A$地的路程$y$关于时间$x$的函数表达式为$y=kx+b$，由图象可知乙车经过点$(0,40)$和$(2,200)$，将点代入可得$\begin{cases}b=40\\2k+b=200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=80\\b=40\end{cases}$，所以函数表达式为$y = 80x + 40$；(3)分情况讨论：①当甲车在乙车前方10km时，根据图象求出甲车函数表达式，再列方程求解；②当乙车在甲车前方10km时，同理列方程求解，最终可得乙车的行驶时间为$\frac{3}{4}h$，$\frac{5}{4}h$，$\frac{31}{8}h$。

答案：
(1) 40；
(2) $ y = 80x + 40 $；
(3) $ \frac{3}{4}h $，$ \frac{5}{4}h $，$ \frac{31}{8}h $

5. (锦州期末)某公共汽车线路收支差额$y$(单位:万元)(票价总收入减去运营成本)与乘客数量$x$(单位:万人)之间的函数图象如图 1 所示.
(1)求$y与x$之间的函数表达式,并说明点$A$的实际意义.
(2)目前这条线路是亏损运营,为了扭亏,公交公司提出了以下两种解决方法:
方法 1:票价不变,节约能源,改善管理,降低运营成本;
方法 2:运营成本不变,只提高票价.
如果分别按照上述两种方法运营,那么收支差额$y$(单位:万元)与乘客数量$x$(单位:万人)之间的函数关系发生了变化,你认为在图 2 和图 3 中,哪个图象反映了按方法 1 运营的函数关系? 请说明理由.
(3)两种解决办法的具体措施如下:
方法 1:票价不变,将运营成本降低到 0.5 万元;
方法 2:运营成本不变,只提高票价,使每万人收支差额提高到 0.75 万元.
请求出两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量.

答案：
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。由图1知，函数图象过点$A(0,-1)$和$B(3,1)$。将$A(0,-1)$代入得$b=-1$。将$B(3,1)$，$b=-1$代入$y=kx-1$，得$1=3k-1$，解得$k=\frac{2}{3}$。故函数表达式为$y=\frac{2}{3}x - 1$。点$A$的实际意义：当乘客数量为$0$万人时，收支差额为$-1$万元（即运营成本为$1$万元）。
(2) 图3。理由：方法1票价不变，故斜率$k$不变；降低运营成本，截距$b$增大（$y$轴交点上移），图3符合。
(3) 方法1：票价不变，运营成本降低到$0.5$万元，函数表达式为$y=\frac{2}{3}x - 0.5$。方法2：运营成本不变，每万人收支差额提高到$0.75$万元，函数表达式为$y=0.75x - 1$。令$\frac{2}{3}x - 0.5 = 0.75x - 1$，解得$x=6$。故两种方法收支差额相等时的乘客数量为$6$万人。