《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

14. (沈阳于洪区期末)小李同学探索$\sqrt{86}$的近似值的过程如下：
因为面积为 $86$ 的正方形的边长是$\sqrt{86}$,
且$9＜\sqrt{86}＜10$,
所以设$\sqrt{86}= 9+x$,
其中$0＜x＜1$,
画出示意图如图.
根据示意图,得图中正方形的面积$S_{正方形}= 81+2×9x+x^{2}$,
又因为$S_{正方形}= 86$,
所以$81+2×9x+x^{2}= 86$.
当$x^{2}＜1$时,可忽略$x^{2}$,得$81+18x\approx86$,
解得$x\approx0.28$,所以$\sqrt{86}\approx9.28$.
(1) 填空：$\sqrt{157}$的整数部分的值为12；
(2) 仿照上述方法,探究$\sqrt{157}$的近似值(结果精确到 $0.01$).(要求：画出示意图,标明数据,并写出求解过程)

(2) 因为面积为157的正方形的边长是$\sqrt{157}$，且$12＜\sqrt{157}＜13$，所以设$\sqrt{157}=12+x$，其中$0＜x＜1$。根据示意图，正方形的面积$S_{正方形}=12^{2}+2×12x+x^{2}=144 + 24x + x^{2}$，又因为$S_{正方形}=157$，所以$144 + 24x + x^{2}=157$。当$x^{2}＜1$时，忽略$x^{2}$，得$144 + 24x\approx157$，$24x\approx13$，解得$x\approx0.54$，所以$\sqrt{157}\approx12.54$。

答案：
(1) 12；
(2) 12.54

15. 手工制作课上,小丽要沿一个面积为 $400cm^{2}$ 的正方形边的方向剪出一个长方形,能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 $5:4$,且面积为 $360cm^{2}$？若能,试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能,试说明理由.

答案： 设长方形纸片的长为 $5x \, cm$，宽为 $4x \, cm$。
根据长方形面积公式，有：
$5x × 4x = 360$，
$20x^{2} = 360$，
$x^{2} = 18$，
解得$x = \pm 3\sqrt{2}$，
因为$x＞0$，
所以取$x = 3\sqrt{2}$，
因此，长方形的长为 $5x = 15\sqrt{2} \, cm$，宽为 $4x = 12\sqrt{2} \, cm$。
又因为正方形面积为 $400 \, cm^2$，所以正方形的边长为 $\sqrt{400} = 20 \, cm$。
比较长方形的长 $15\sqrt{2} \, cm$（约等于$21.21 \, cm$）与正方形的边长 $20 \, cm$，因为 $21.21 ＞ 20$，所以不能在面积为 $400 \, cm^2$ 的正方形内剪出这样的长方形。
答：不能剪出这样的长方形。

16. 小华用一根细线将一正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,溢出水的体积为 $40cm^{3}$,小华又将铁块从烧杯中提起,量得烧杯中的水位下降了 $0.6cm$. 请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算,$\pi$ 取 $3.14$,结果精确到 $0.01cm$)

答案： 解：设烧杯内部的底面半径为 $r cm$，铁块的棱长为 $a cm$。
根据题意，铁块完全浸入水中后，溢出的水体积等于铁块的体积，即 $a^3 = 40$（因为正方体体积 $V = a^3$）。
所以$a = \sqrt[3]{40} \approx 3.42$。
当铁块被提起时，烧杯中的水位下降了 $0.6cm$，下降的水体积也等于铁块的体积，即 $\pi r^{2} × 0.6 = 40$。
所以$r^{2} = \frac{40}{0.6 × 3.14} \approx 21.26$，
因为$r \gt 0$，
所以$r = \sqrt{21.26} \approx 4.61$。
答：烧杯内部的底面半径约为$4.61cm$，铁块的棱长约为$3.42cm$。

17. 因为$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{8}$,即 $1＜\sqrt[3]{3}＜2$,所以$\sqrt[3]{3}$的整数部分为 $1$,小数部分为$\sqrt[3]{3}-1$,类比以上推理,$\sqrt[3]{30}$的小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$.

答案： $\sqrt[3]{30}-3$

18. 借助计算器计算下列各题：
(1)$\sqrt{11 - 2}= $3；
(2)$\sqrt{1111 - 22}= $33；
(3)$\sqrt{111111 - 222}= $333；
(4)$\sqrt{11111111 - 2222}= $3333.
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律？并用发现的这一规律直接写出下面的结果：$\sqrt{\underbrace{11…1}_{2026个1}-\underbrace{22…2}_{1013个2}}= $$\underbrace{33\cdots3}_{1013 个3}$.

答案：
(1) $\sqrt{11 - 2} = \sqrt{9} = 3$；
(2) $\sqrt{1111 - 22} = \sqrt{1089} = 33$；
(3) $\sqrt{111111 - 222} = \sqrt{110889} = 333$；
(4) $\sqrt{11111111 - 2222} = \sqrt{11108889} = 3333$；
规律：$\sqrt{\underbrace{11\cdots1}_{2n 个1} - \underbrace{22\cdots2}_{n 个2}} = \underbrace{33\cdots3}_{n 个3}$；
$\sqrt{\underbrace{11\cdots1}_{2026 个1} - \underbrace{22\cdots2}_{1013 个2}} = \underbrace{33\cdots3}_{1013 个3}$。