《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. $\left\{\begin{array}{l}10x - 3y = 11,\\6x + y = 1.\end{array} \right.$

答案： $\left\{\begin{array}{l}10x - 3y = 11,①\\6x + y = 1.②\end{array}\right.$
由②得：$y=1 - 6x$.③
把③代入①得：$10x - 3(1 - 6x)=11$
$10x - 3 + 18x=11$
$28x=14$
$x=\frac{1}{2}$
把$x=\frac{1}{2}$代入③得：$y=1 - 6×\frac{1}{2}=1 - 3=-2$
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2},\\y=-2.\end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 1,\\4x - y = 9.\end{array} \right.$

答案： $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 1,①\\4x - y = 9.②\end{array}\right.$
由②得：$y=4x-9$.③
将③代入①：$2x+3(4x-9)=1$
$2x+12x-27=1$
$14x=28$
$x=2$
将$x=2$代入③：$y=4×2 - 9=8 - 9=-1$
$\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array}\right.$

3. $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 10,\\\dfrac{2x + y}{2} - \dfrac{1 + y}{4} = 1.\end{array} \right.$

答案： 首先将第二个方程进行化简：
$\frac{2x + y}{2} - \frac{1 + y}{4} = 1$，
两边乘以4得：
$2(2x + y) - (1 + y) = 4$，
进一步展开和整理得：
$4x + 2y - 1 - y = 4$，
$4x + y = 5$，
所以，原方程组可以化简为：
$\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 10, \\4x + y = 5.\end{array} \right.$
接下来，使用加减消元法来解这个方程组。
将第二个方程乘以3，然后与第一个方程相减，得到：
$3(4x + y) - (2x + 3y) = 3 × 5 - 10$，
$12x + 3y - 2x - 3y = 15 - 10$，
$10x = 5$，
$x = \frac{1}{2}$。
将 $x = \frac{1}{2}$ 代入 $4x + y = 5$，得到：
$4 × \frac{1}{2} + y = 5$，
$2 + y = 5$，
$y = 3$。
因此，原方程组的解为：
$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}, \\y = 3.\end{array} \right.$

4. $\left\{\begin{array}{l}3x + 4y = -2x + 15,\\\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{4y - 1}{6} = 1.\end{array} \right.$

答案： 解：
1. 整理第一个方程：
$3x + 4y = -2x + 15$
移项合并同类项得：$5x + 4y = 15$ （记为方程①）
2. 整理第二个方程：
$\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{4y - 1}{6} = 1$
两边同乘6去分母：$2(2x + 1) - (4y - 1) = 6$
展开并化简：$4x + 2 - 4y + 1 = 6$
合并同类项得：$4x - 4y = 3$ （记为方程②）
3. 解方程组$\begin{cases}5x + 4y = 15 \\ 4x - 4y = 3\end{cases}$
①+②得：$9x = 18$，解得$x = 2$
4. 将$x = 2$代入①：$5×2 + 4y = 15$
解得：$10 + 4y = 15$，$4y = 5$，$y = \dfrac{5}{4}$
方程组的解为：$\begin{cases}x = 2 \\ y = \dfrac{5}{4}\end{cases}$

5. $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{y}{3} - \dfrac{x + 1}{6} = 3,\\2\left(x - \dfrac{y}{2}\right) = 3\left(x + \dfrac{y}{18}\right).\end{array} \right.$

答案： 答题卡填写：
解：原方程组为：
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{3} - \frac{x + 1}{6} = 3, \quad (1) \\2\left(x - \frac{y}{2}\right) = 3\left(x + \frac{y}{18}\right). \quad (2)\end{array} \right.$
由方程
(1)得：
两边同时乘以6，得：
$2y - (x + 1) = 18$，
整理得：
$2y - x = 19 \quad (3)$，
由方程
(2)得：
展开并整理，得：
$2x - y = 3x + \frac{y}{6}$，
进一步整理，得：
$-6x - 7y = 0 \quad (4) × (-1)（两边同时乘以-1，使x系数为正，方便后续计算）$，
即$6x + 7y = 0 \quad (4)$，
将方程
(3)乘以6，得：
$12y - 6x = 114 \quad (5)$，
将方程
(4)与方程
(5)相加，得：
$12y - 6x+6x + 7y = 114+0$，
$19y = 114$，
$y = 6$，
将 $y = 6$ 代入方程
(3)，得：
$2 × 6 - x = 19$，
$12 - x = 19$，
$x = -7$，
因此，原方程组的解为：
$\left\{ \begin{array}{l}x = -7, \\y = 6.\end{array} \right.$

6. $\left\{\begin{array}{l}4(x - y - 1) = 3(1 - y) - 2,\\\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2.\end{array} \right.$

答案： 解：化简第一个方程：
$\begin{aligned}4(x - y - 1) &= 3(1 - y) - 2 \\4x - 4y - 4 &= 3 - 3y - 2 \\4x - 4y + 3y &= 3 - 2 + 4 \\4x - y &= 5 \quad (1)\end{aligned}$
化简第二个方程：
$\begin{aligned}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} &= 2 \\3x + 2y &= 12 \quad (2)\end{aligned}$
$(1) × 2$得：$8x - 2y = 10 \quad (3)$
$(2) + (3)$得：
$\begin{aligned}3x + 2y + 8x - 2y &= 12 + 10 \\11x &= 22 \\x &= 2\end{aligned}$
将$x = 2$代入$(1)$得：
$\begin{aligned}4 × 2 - y &= 5 \\8 - y &= 5 \\y &= 3\end{aligned}$
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x = 2 \\ y = 3\end{array}\right.$

7. $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{m}{2} + \dfrac{n}{3} = 12,\\\dfrac{m}{3} - \dfrac{n}{4} = 3.\end{array} \right.$

答案： 解：
1. 去分母化简方程组：
第一个方程两边乘6：$3m + 2n = 72$（记为方程①）
第二个方程两边乘12：$4m - 3n = 36$（记为方程②）
2. 加减消元法求解：
①×3：$9m + 6n = 216$（记为方程③）
②×2：$8m - 6n = 72$（记为方程④）
③+④：$17m = 288$，解得$m = \dfrac{288}{17}$
3. 代入求$n$：
将$m = \dfrac{288}{17}$代入①：$3×\dfrac{288}{17} + 2n = 72$
化简得：$\dfrac{864}{17} + 2n = \dfrac{1224}{17}$
解得：$2n = \dfrac{360}{17}$，$n = \dfrac{180}{17}$
结论：
$\left\{\begin{array}{l}m = \dfrac{288}{17}\\n = \dfrac{180}{17}\end{array}\right.$

8. $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x + y}{2} + \dfrac{x - y}{3} = 6,\\4(x + y) - 5(x - y) = 2.\end{array} \right.$

答案： 解：设$a = x + y$，$b = x - y$，原方程组化为：
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = 6 \\4a - 5b = 2\end{array}\right.$
整理第一个方程：两边乘6得$3a + 2b = 36$，即
$\left\{\begin{array}{l}3a + 2b = 36 \quad (1) \\4a - 5b = 2 \quad (2)\end{array}\right.$
$(1)×5 + (2)×2$：$15a + 10b + 8a - 10b = 180 + 4$，$23a = 184$，解得$a = 8$
将$a = 8$代入$(1)$：$3×8 + 2b = 36$，$2b = 12$，解得$b = 6$
即$\left\{\begin{array}{l}x + y = 8 \\x - y = 6\end{array}\right.$
两式相加：$2x = 14$，$x = 7$
将$x = 7$代入$x + y = 8$：$7 + y = 8$，$y = 1$
$\therefore$原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x = 7 \\y = 1\end{array}\right.$