《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

4. 如图,直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$,$B(0,1)$,直线 $l_{2}:y = -x + 4$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $C$,$D$,直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $E(2,m)$。
(1) 求 $m$ 的值和直线 $l_{1}$ 的表达式；
(2) 点 $G$ 是 $x$ 轴上的一个动点,连接 $GB$,$GE$,求 $GB + GE$ 的最小值和此时点 $G$ 的坐标；
(3) 在直线 $CD$ 上存在一点 $P$,使得 $\triangle BEP$ 的面积等于 $5$,求点 $P$ 的坐标。

答案：
(1) 因为点 $ E(2,m) $ 在直线 $ l_2: y = -x + 4 $ 上，将 $ x=2 $ 代入得 $ m = -2 + 4 = 2 $，故 $ E(2,2) $。设直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y = kx + b $，已知 $ l_1 $ 过点 $ B(0,1) $ 和 $ E(2,2) $，将 $ B(0,1) $ 代入得 $ b=1 $，再将 $ E(2,2) $ 代入 $ y = kx + 1 $ 得 $ 2 = 2k + 1 $，解得 $ k = \frac{1}{2} $，所以直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $。
(2) 作点 $ B(0,1) $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ B'(0,-1) $，连接 $ B'E $ 交 $ x $ 轴于点 $ G $，此时 $ GB + GE $ 最小。设直线 $ B'E $ 的表达式为 $ y = kx + b $，将 $ B'(0,-1) $ 和 $ E(2,2) $ 代入得 $ \begin{cases} b = -1 \\ 2k + b = 2 \end{cases} $，解得 $ k = \frac{3}{2}, b = -1 $，故直线 $ B'E: y = \frac{3}{2}x - 1 $。令 $ y=0 $，得 $ \frac{3}{2}x - 1 = 0 $，解得 $ x = \frac{2}{3} $，所以 $ G\left( \frac{2}{3}, 0 \right) $。$ GB + GE $ 的最小值为 $ B'E $ 的长，即 $ \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{13} $。
(3) 设 $ P(t, -t + 4) $，$ B(0,1) $，$ E(2,2) $。由面积公式 $ S_{\triangle BEP} = \frac{1}{2} |x_B(y_E - y_P) + x_E(y_P - y_B) + x_P(y_B - y_E)| = 5 $，代入得 $ \frac{1}{2} |0(2 - (-t + 4)) + 2(-t + 4 - 1) + t(1 - 2)| = 5 $，化简得 $ \frac{1}{2} | -3t + 6 | = 5 $，即 $ |3t - 6| = 10 $，解得 $ t = \frac{16}{3} $ 或 $ t = -\frac{4}{3} $，故 $ P\left( \frac{16}{3}, -\frac{4}{3} \right) $ 或 $ P\left( -\frac{4}{3}, \frac{16}{3} \right) $。
(1) $ m = 2 $，直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $；
(2) $ GB + GE $ 的最小值为 $ \sqrt{13} $，此时 $ G\left( \frac{2}{3}, 0 \right) $；
(3) 点 $ P $ 的坐标为 $ \left( \frac{16}{3}, -\frac{4}{3} \right) $ 或 $ \left( -\frac{4}{3}, \frac{16}{3} \right) $。

5. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y = \frac{3}{4}x + 12$ 的图象分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A$ 和 $B$,与经过点 $C(\frac{3}{2},0)$,$D(0,-3)$ 的直线交于点 $E$。
(1) 求直线 $CD$ 的函数表达式及点 $E$ 的坐标。
(2) 若点 $P$ 是线段 $DE$ 上的动点,连接 $BP$。
① 当 $BP$ 分 $\triangle BDE$ 的面积为 $1:2$ 时,求点 $P$ 的坐标；
② 将 $\triangle BPE$ 沿着直线 $BP$ 折叠,点 $E$ 的对应点为点 $E'$,当点 $E'$ 落在坐标轴上时,直接写出点 $P$ 的坐标。

答案：
(1) 直线CD：$y=2x-3$，点E：$(12,21)$；
(2) ① $(4,5)$或$(8,13)$；② $(5,7)$、$(6,9)$、$(7,11)$。