《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列说法正确的是(A)

A.0 的平方根是 0
B.4 的平方根是 2
C.负数有 2 个平方根
D.正数只有 1 个平方根

答案： A

2. 求下列各数的平方根:
(1) 144； (2) $ 12\frac{1}{4} $； (3) 0.0625.

答案：
(1)
设$x$是$144$的平方根，则$x^{2} = 144$。
因为$(\pm 12)^{2}=144$，所以$144$的平方根为$\pm 12$，即$\pm\sqrt{144}=\pm 12$。
(2)
先将混合数$12\frac{1}{4}$化为分数，$12\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$。
设$y$是$\frac{49}{4}$的平方根，则$y^{2}=\frac{49}{4}$。
因为$(\pm\frac{7}{2})^{2}=\frac{49}{4}$，所以$12\frac{1}{4}$的平方根为$\pm\frac{7}{2}$，即$\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}=\pm\sqrt{\frac{49}{4}}=\pm\frac{7}{2}$。
(3)
设$z$是$0.0625$的平方根，则$z^{2}=0.0625$。
因为$(\pm 0.25)^{2}=0.0625$，所以$0.0625$的平方根为$\pm 0.25$，即$\pm\sqrt{0.0625}=\pm 0.25$。

3. 求下列各式的值:
(1) $ \sqrt{361} $； (2) $ \sqrt{(-0.3)^2} $； (3) $ -\sqrt{\frac{121}{16}} $.

答案：
(1)
因为$19^2 = 361$，根据算术平方根的定义，若$x^2=a$（$x\geq0$），则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$x = \sqrt{a}$。
所以$\sqrt{361}=19$。
(2)
先计算$(-0.3)^2 = 0.09$，又因为$0.3^2 = 0.09$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{(-0.3)^2}=\sqrt{0.09}=0.3$。
(3)
因为$(\frac{11}{4})^2=\frac{121}{16}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{121}{16}}=\frac{11}{4}$，所以$-\sqrt{\frac{121}{16}}=-\frac{11}{4}$。
综上，答案依次为：
(1)$19$；
(2)$0.3$；
(3)$-\frac{11}{4}$。

4. 2 的平方根是(D)

A.2
B.-2
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \pm\sqrt{2} $

答案： D

5. 若 $ a^2 = 4 $,$ b^2 = 9 $,且 $ ab ＞ 0 $,则 $ a - b $ 的值为(B)
A.$ \pm5 $
B.$ \pm1 $
C.5
D.-1

答案： B

6. $ (-5)^2 $ 的平方根是±5.

答案： ±5

7. 当 $ a = 12 $,$ b = 16 $ 时,$ \sqrt{a^2 + b^2} $ 的值为20.

答案：
20

8. (新考法·数学文化)清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,说明了所谓“代数”,就是用符号来代表数的一种方法,若一个正数的平方根分别是 $ 2a - 3 $ 和 $ 5 - a $,则 $ a $ 的值是-2.

答案： $a$ 的值是$-2$（填具体数值，由于本题为填空题，直接给出答案数值即可，即$-2$）。

9. 求满足下列各式的未知数 $ x $:
(1) $ x^2 = \frac{49}{9} $； (2) $ 2(x + 1)^2 = 128 $.

答案：
(1)
由 $x^{2} = \frac{49}{9}$，根据平方根的定义，我们有：
$x = \pm \sqrt{\frac{49}{9}}$
$x = \pm \frac{7}{3}$
(2)
首先，将方程 $2(x + 1)^{2} = 128$ 化简为：
$(x + 1)^{2} = 64$
根据平方根的定义，我们有：
$x + 1 = \pm \sqrt{64}$
$x + 1 = \pm 8$
进一步解得：
$x = 7 \quad 或 \quad x = -9$

10. 在学习平方根这一课后,小明同学提出了一个有趣的问题:一个数的算术平方根为 $ 3x - 2 $,平方根为 $ \pm(x + 2) $,求这个数. 小明的解答过程如下:
解:因为一个数的算术平方根为 $ 3x - 2 $,平方根为 $ \pm(x + 2) $,
所以 $ 3x - 2 = x + 2 $ 或 $ 3x - 2 = -(x + 2) $.
①当 $ 3x - 2 = x + 2 $ 时,解得 $ x = 2 $,
所以 $ (3x - 2)^2 = 16 $,所以这个数为 16；
②当 $ 3x - 2 = -(x + 2) $ 时,解得 $ x = 0 $,
所以 $ (3x - 2)^2 = 4 $,所以这个数为 4.
综上所述,这个数为 16 或 4.
请判断小明的解答正确吗？如果不正确,请写出正确的解答过程.

答案： 小明的解答不正确。
解：因为一个数的算术平方根为$3x - 2$，所以$3x - 2 \geq 0$，即$x \geq \frac{2}{3}$。
又因为该数的平方根为$\pm(x + 2)$，算术平方根是平方根中的非负根，所以$3x - 2 = x + 2$。
解方程$3x - 2 = x + 2$：
$3x - x = 2 + 2$
$2x = 4$
$x = 2$
此时$3x - 2 = 3×2 - 2 = 4$，符合$3x - 2 \geq 0$。
该数为$(3x - 2)^2 = 4^2 = 16$。
当考虑$3x - 2 = -(x + 2)$时，解得$x = 0$，此时$3x - 2 = -2 ＜ 0$，不符合算术平方根非负的定义，故舍去。
综上，这个数为16。