《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. 四位数 $7a4b$ 能被 $18$ 整除,要使这个四位数尽可能小,求 $a$ 和 $b$ 的值.

答案： 要使四位数$7a4b$能被18整除，需同时满足能被2和9整除。
能被2整除的条件：
个位数字$b$为偶数，即$b=0,2,4,6,8$。
能被9整除的条件：
各位数字之和$7+a+4+b=11+a+b$能被9整除，即$11+a+b=9k$（$k$为正整数）。
确定$a$和$b$的值（使四位数最小，优先最小化$a$）：
当$a=0$时：$11+0+b=11+b$需被9整除。$11+b=18$时，$b=7$（奇数，不满足被2整除）；$11+b=27$时，$b=16$（非个位数，舍去）。
当$a=1$时：$11+1+b=12+b$需被9整除。$12+b=18$时，$b=6$（偶数，满足条件）。
此时四位数为$7146$，验证：$7146÷18=397$，能整除。
结论：$a=1$，$b=6$。
$a=1$，$b=6$

2. 学习了全等三角形的判定方法“SAS”后,小明想：“SSA(即两边及其中一边的对角对应相等)能否判定两个三角形全等呢?”带着这个问题,请同学们作如下探索：
(1) 如图,已知线段 $a$,$b$ 及 $\angle \alpha$,画 $\triangle ABC$,使 $\angle B= \angle \alpha$,$BC = a$,$AC = b$；(尺规作图,保留作图痕迹)
(2) 观察(1)中你所画的图形,你认为“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(SSA)”成立吗?

答案：
(1)
① 作$\angle B = \angle\alpha$；
② 在角的一边截取$BC = a$；
③ 以点$C$为圆心，$b$为半径画弧，交角的另一边于点$A$和$A^{\prime}$；
④ 连接$AC$、$AC^{\prime}$，$\triangle ABC$和$\triangle A^{\prime}BC$即为所求三角形，作图痕迹保留（弧线及圆心标记）。
(2) 不成立。

3. 《孙子算经》中记载：“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?”它的意思是：有一些物品,如果 $3$ 个 $3$ 个地数,最后剩 $2$ 个；如果 $5$ 个 $5$ 个地数,最后剩 $3$ 个；如果 $7$ 个 $7$ 个地数,最后剩 $2$ 个. 这些物品至少有多少个? 这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”,西方数学家把它称为“中国剩余定理”,你知道怎么解答这个问题吗?

答案： 1. 由“三三数之余二，七七数之余二”，设该数为$21k + 2$（$k$为非负整数，21为3和7的最小公倍数）。
2. 该数需满足“五五数之余三”，即$21k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$。因$21 \equiv 1 \pmod{5}$，故$21k + 2 \equiv k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$，解得$k \equiv 1 \pmod{5}$。
3. 取最小$k=1$，得该数为$21×1 + 2=23$。
4. 检验：$23÷3=7\cdots\cdots2$，$23÷5=4\cdots\cdots3$，$23÷7=3\cdots\cdots2$，均满足条件。
结论：这些物品至少有23个。

4. 如图,已知线段 $a$.
(1) 求作等腰三角形 $ABC$,使其底边 $BC$ 的长为 $a$,底边上的高长为 $2a$；(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2) 如果 $a = 2$,求等腰三角形 $ABC$ 的腰长.

答案：
(1) （作图痕迹略，需作出底边 BC=a，底边上高 AD=2a，连接 AB、AC 形成等腰三角形）
(2) 当 a=2 时，BC=2，底边上的高 AD=2a=4。
因为等腰三角形底边上的高平分底边，所以 BD=BC/2=1。
在 Rt△ABD 中，AB²=AD²+BD²=4²+1²=17，所以 AB=√17。
即等腰三角形 ABC 的腰长为√17。

5. 如图,社区公园内有一梯形广场 $ABCD$,计划在广场内部空地一点 $P$ 处安装一个监控摄像探头,可以时刻监控广场内的情况,并将广场分为四个三角形的监控区域. 为了节约成本,给监控供电的电线 $AP$ 与 $BP$ 之间始终保持相互垂直,已知 $AD// BC$,$AB = CD = 100m$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$BC = 200m$. 请问广场内是否存在一个符合要求的点 $P$,使得 $\triangle PCD$ 的面积最小? 若存在,请找出此时点 $P$ 的位置；若不存在,请说明理由. (注：当 $a = b$ 时,能使得 $ab$ 在已知 $a^{2}+b^{2}$ 为定值的条件下取得最大值)

答案： 存在，点P的坐标为(25+25√3,25+25√3)。