《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

22.(12分)【阅读材料】当$m$,$n$都是实数,且满足$m - n = 6$,就称点$P(m - 1,3n + 1)$为“友好点”. 例如：点$E(3,1)$,令$\begin{cases}m - 1 = 3,\\3n + 1 = 1,\end{cases} 解得\begin{cases}m = 4,\\n = 0,\end{cases} $$m - n = 4 \neq 6$,所以$E(3,1)$不是“友好点”. 点$F(4, - 2)$,令$\begin{cases}m - 1 = 4,\\3n + 1 = - 2,\end{cases} 解得\begin{cases}m = 5,\\n = - 1,\end{cases} $$m - n = 6$,所以$F(4, - 2)$是“友好点”.
【初步判断】
(1)请判断点$A(7,1)$,$B(6,4)$是否为“友好点”,并说明理由.
【深入探究】
(2)以关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x + y = 2,\\2x - y = t\end{cases} 的解为坐标的点C(x,y)$是“友好点”,求$t$的值.

答案：
(1)
对于点$A(7,1)$：
令$\begin{cases}m - 1 = 7\\3n + 1 = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 8\\n = 0\end{cases}$
因为$m - n=8 - 0 = 8\neq6$，所以点$A(7,1)$不是“友好点”。
对于点$B(6,4)$：
令$\begin{cases}m - 1 = 6\\3n + 1 = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 7\\n = 1\end{cases}$
因为$m - n=7 - 1 = 6$，所以点$B(6,4)$是“友好点”。
(2)
解方程组$\begin{cases}x + y = 2\\2x - y = t\end{cases}$
将两式相加得$3x=t + 2$，则$x=\dfrac{t + 2}{3}$
把$x=\dfrac{t + 2}{3}$代入$x + y = 2$得$y=2-\dfrac{t + 2}{3}=\dfrac{4 - t}{3}$
因为点$C(x,y)$是“友好点”，设$C$点坐标为$(m - 1,3n + 1)$，则$\begin{cases}\dfrac{t + 2}{3}=m - 1\\\dfrac{4 - t}{3}=3n + 1\end{cases}$
由$\dfrac{t + 2}{3}=m - 1$可得$m=\dfrac{t + 5}{3}$
由$\dfrac{4 - t}{3}=3n + 1$可得$n=\dfrac{1 - t}{9}$
因为$m - n = 6$，所以$\dfrac{t + 5}{3}-\dfrac{1 - t}{9}=6$
等式两边同时乘以$9$得$3(t + 5)-(1 - t)=54$
去括号得$3t+15 - 1 + t=54$
移项合并得$4t=40$
解得$t = 10$
综上，
(1)点$A(7,1)$不是“友好点”，点$B(6,4)$是“友好点”；
(2)$t$的值为$10$。

23.(12分)某商店分两次购进A,B型两种台灯进行销售,两次购进的数量及费用如下表所示,由于物价上涨,第二次购进A,B型两种台灯时,两种台灯每台进价分别上涨$30\%$,$20\%$.

(1)求第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元.
(2)A,B型两种台灯销售单价不变,第一次购进的台灯全部售出后,获得的利润为2800元,第二次购进的台灯全部售出后,获得的利润为1800元.
①求A,B型两种台灯每台售价分别是多少元.
②若按照第二次购进A,B型两种台灯的价格再购进一次(两种台灯都购进),将再次购进的台灯全部售出后,要想使获得的利润为1000元,则有哪几种购进方案？

答案：
(1)设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}10x + 20y = 3000 \\15×1.3x + 10×1.2y = 4500\end{cases}$
化简第一个方程：$x + 2y = 300$，即$x = 300 - 2y$。
代入第二个方程：$19.5(300 - 2y) + 12y = 4500$，解得$y = 50$。
则$x = 300 - 2×50 = 200$。
答：第一次购进A型台灯每台进价200元，B型台灯每台进价50元。
(2)①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元。
第一次利润：$10(m - 200) + 20(n - 50) = 2800$，化简得$m + 2n = 580$。
第二次A进价$1.3×200 = 260$元，B进价$1.2×50 = 60$元，利润：$15(m - 260) + 10(n - 60) = 1800$，化简得$3m + 2n = 1260$。
联立方程组：
$\begin{cases}m + 2n = 580 \\3m + 2n = 1260\end{cases}$
解得$m = 340$，$n = 120$。
答：A型台灯每台售价340元，B型台灯每台售价120元。
②设购进A型台灯$a$台，B型台灯$b$台（$a,b$为正整数）。
利润：$(340 - 260)a + (120 - 60)b = 1000$，化简得$4a + 3b = 50$。
解得正整数解：
$\begin{cases}a=11,b=2\\a=8,b=6\\a=5,b=10\\a=2,b=14\end{cases}$
答：有四种购进方案：
方案1：购进A型11台，B型2台；
方案2：购进A型8台，B型6台；
方案3：购进A型5台，B型10台；
方案4：购进A型2台，B型14台。