《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. 如图,一次函数$y= -\frac {1}{2}x+b$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与正比例函数$y= x$的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点$P(a,0)$(其中$a＞2$),过点P作x轴的垂线,分别交一次函数$y= -\frac {1}{2}x+b和正比例函数y= x$的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若$OB= CD$,求a的值.

答案：
(1)点$M$横坐标为$2$，且在正比例函数$y = x$上，
所以$M(2,2)$，
代入一次函数$y = -\frac{1}{2}x + b$中，
得$2 = -\frac{1}{2}× 2 + b$，
解得$b = 3$，
所以一次函数为$y = -\frac{1}{2}x + 3$，
令$y = 0$，则$0 = -\frac{1}{2}x + 3$，
解得$x = 6$，
所以$A(6,0)$。
(2)由$y = -\frac{1}{2}x + 3$可知$B(0,3)$，
所以$OB = 3$，
因为$P(a,0)$，$a＞2$，
过点$P$作$x$轴的垂线交一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$于点$C$，
所以$C(a,-\frac{1}{2}a + 3)$，
交正比例函数$y = x$的图象于点$D$，
所以$D(a,a)$，
因为$OB = CD$，
所以$\vert a - (-\frac{1}{2}a + 3)\vert = 3$，
即$\vert \frac{3}{2}a - 3\vert = 3$，
当$\frac{3}{2}a - 3 = 3$时，
$\frac{3}{2}a = 6$，
$a = 4$；
当$\frac{3}{2}a - 3 = -3$时，
$\frac{3}{2}a = 0$，
$a = 0$（舍去，因为$a＞2$），
所以$a = 4$。
综上，$a$的值为$4$。

2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y= kx+b$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点$B(0,2)$,且与正比例函数$y= \frac {4}{3}x的图象的交点为C(m,4)$.
(1)求一次函数$y= kx+b$的表达式;
(2)若点D在第二象限,$△DAB$是以AB为直角边的等腰直角三角形,求点D的坐标.

答案：
(1)
将$C(m,4)$代入$y = \frac{4}{3}x$，得$4=\frac{4}{3}m$，解得$m = 3$，所以$C(3,4)$。
把$B(0,2)$，$C(3,4)$代入$y=kx + b$，$\begin{cases}b = 2\\3k + b = 4\end{cases}$，将$b = 2$代入$3k + b = 4$得$3k+2 = 4$，$3k=2$，$k=\frac{2}{3}$。
所以一次函数表达式为$y=\frac{2}{3}x + 2$。
(2)
当$\angle ABD=90^{\circ}$，$BD = BA$时：
过$D$作$DE\perp y$轴于$E$。
因为$\triangle ABD$是等腰直角三角形，$\angle ABD = 90^{\circ}$，所以$\angle ABO+\angle EBD = 90^{\circ}$，又$\angle BAO+\angle ABO = 90^{\circ}$，所以$\angle BAO=\angle EBD$。
在$\triangle AOB$和$\triangle BED$中，$\begin{cases}\angle AOB=\angle BED = 90^{\circ}\\\angle BAO=\angle EBD\\AB = BD\end{cases}$，所以$\triangle AOB\cong\triangle BED(AAS)$。
由$y=\frac{2}{3}x + 2$，令$y = 0$，得$x=-3$，所以$A(-3,0)$，$B(0,2)$，则$OA = 3$，$OB = 2$。
所以$BE = OA = 3$，$DE = OB = 2$，则$OE=BE - OB=3 - 2 = 1$，因为点$D$在第二象限，所以$D(-2,5)$。
当$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AD = BA$时：
过$D$作$DF\perp x$轴于$F$。
同理可证$\triangle AOB\cong\triangle DFA$，则$DF = OA = 3$，$AF = OB = 2$，所以$OF=AF + OA=2 + 3 = 5$，因为点$D$在第二象限，所以$D(-5,3)$。
综上，点$D$的坐标为$(-2,5)$或$(-5,3)$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y= 2x+6$与x轴、y轴分别交于点A,C,经过点C的另一直线与x轴交于点$B(6,0)$.
(1)求直线BC的表达式;
(2)若点G是直线BC上一动点,过点G作x轴的垂线交x轴于点M,与直线$y= 2x+6$交于点H,且满足$GH= \frac {1}{2}GM$,求点G的横坐标;
(3)若点G是线段BC上一动点,点N在x轴上,且满足$∠OGN= 45^{\circ },OG= GN$,直接写出点G和点N的坐标.

答案：
(1) 对于直线$y=2x+6$，令$x=0$，得$y=6$，则$C(0,6)$。设直线$BC$的表达式为$y=kx+b$，将$B(6,0)$，$C(0,6)$代入，得$\begin{cases}6k+b=0\\b=6\end{cases}$，解得$k=-1$，$b=6$，故直线$BC$的表达式为$y=-x+6$。
(2) 设$G(x,-x+6)$，则$M(x,0)$，$H(x,2x+6)$。$GH=|(2x+6)-(-x+6)|=|3x|$，$GM=|-x+6|$。由$GH=\frac{1}{2}GM$，得$|3x|=\frac{1}{2}|6-x|$，即$|6x|=|6-x|$。
当$6x=6-x$时，$7x=6$，$x=\frac{6}{7}$；当$6x=-(6-x)$时，$5x=-6$，$x=-\frac{6}{5}$。故点$G$的横坐标为$\frac{6}{7}$或$-\frac{6}{5}$。
(3) $G(6-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，$N(12-6\sqrt{2},0)$。