《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. $\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$.

答案： 答题
1.$\frac{\sqrt{12}×\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
$=\frac{\sqrt{4×3}×\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
$=\frac{2\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
$=2\sqrt{5}$
所以，结果为$2\sqrt{5}$。

2. $(\sqrt{48} - \sqrt{2}) - \left( \sqrt{18} + 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right)$.

答案： 解题步骤：
1. 化简各二次根式：
$\sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{2}$ 保持不变
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$
$3\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 3 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
2. 代入原式去括号：
$ (4\sqrt{3} - \sqrt{2}) - (3\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} $
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{3}$ 项：$4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{2}$ 项：$-\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$
最终结论：
$3\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$

3. $3\sqrt{27} × \dfrac{\sqrt{3}}{6} ÷ 3\sqrt{2}$.

答案： 首先，将各个根式化简：
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 × 3} = 3 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$，
然后，将原式中的除法和乘法统一为乘法：
$3\sqrt{27} × \frac{\sqrt{3}}{6} ÷ 3\sqrt{2} = 9\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{6} × \frac{1}{3\sqrt{2}}$，
接着，进行乘法运算：
$= \frac{9\sqrt{3} × \sqrt{3}}{6 × 3\sqrt{2}}$
$= \frac{9 × 3}{6 × 3\sqrt{2}}$
$= \frac{27}{18\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{3\sqrt{2}}{4}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4} × 3（即\frac{3\sqrt{2}}{4}）$。

4. $4\sqrt{5} + \sqrt{45} - 4\sqrt{2} ÷ \sqrt{8}$.

答案： 解题步骤：
1. 化简二次根式
$\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = 3\sqrt{5}$，$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$。
2. 代入原式计算
原式 $= 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{2}$。
3. 合并同类二次根式
$4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$。
4. 计算除法
$4\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{2} = (4 ÷ 2) × (\sqrt{2} ÷ \sqrt{2}) = 2 × 1 = 2$。
5. 整理结果
原式 $= 7\sqrt{5} - 2$。
最终结论：
$7\sqrt{5} - 2$

5. $\sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{4}{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{(-2)^{2}}$.

答案： $\sqrt{6} × \sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{(-2)^{2}}$
$=\sqrt{6 × \frac{4}{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$
$=\sqrt{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$
$=2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$
$=\frac{4\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$
$=\frac{3\sqrt{2}}{2} + 2$

6. $\left( 3\sqrt{18} + \dfrac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right) ÷ \sqrt{32}$.

答案： 解题步骤：
1. 化简括号内各项二次根式：
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 × 2} = 3 × 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$\frac{1}{5}\sqrt{50} = \frac{1}{5}\sqrt{25 × 2} = \frac{1}{5} × 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
2. 合并括号内同类二次根式：
$9\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (9 + 1 - 2)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
3. 计算除法：
原式 $= 8\sqrt{2} ÷ \sqrt{32}$
化简 $\sqrt{32} = \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2}$
则 $8\sqrt{2} ÷ 4\sqrt{2} = \frac{8}{4} × \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 × 1 = 2$
最终结论：
$\boxed{2}$

7. (沈阳期末)$(\sqrt{6} - 2\sqrt{15}) × \sqrt{3} - 6\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.

答案： $-6\sqrt{5}$

8. $(2 - \sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$.

答案： $(2 - \sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})$
$=2×3 + 2×2\sqrt{2} - \sqrt{2}×3 - \sqrt{2}×2\sqrt{2}$
$=6 + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 2×(\sqrt{2})^{2}$
$=6 + (4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) - 2×2$
$=6 + \sqrt{2} - 4$
$=2 + \sqrt{2}$
结论：$2 + \sqrt{2}$

9. $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) + \dfrac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

答案： 解答过程：
1. 计算$(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，得：
$(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$。
2. 计算$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$：
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$\dfrac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{2} = \dfrac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$。
3. 合并结果：
$4 + (\sqrt{2} - 1) = 3 + \sqrt{2}$。
最终结论：
$3 + \sqrt{2}$

10. $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)^{2}$.

答案： 解题步骤：
1. 计算 $(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})$：
原式 $= 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 × 3 = 49 - 48 = 1$。
2. 计算 $(\sqrt{3} - 1)^2$：
原式 $= (\sqrt{3})^2 - 2 × \sqrt{3} × 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$。
3. 原式整体化简：
$1 - (4 - 2\sqrt{3}) = 1 - 4 + 2\sqrt{3} = -3 + 2\sqrt{3}$。
最终结论：
$-3 + 2\sqrt{3}$