《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

20. (8分)(新考法·新定义阅读)在平面直角坐标系$xOy$中,对于$P$,$Q$两点给出如下定义：若点$P到x$轴、$y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x$轴、$y$轴的距离之差的绝对值,则称$P$,$Q$两点互为“等差点”. 如点$P(1,2)与点Q(-2,3)到x$轴、$y$轴的距离之差的绝对值都等于1,它们互为“等差点”.
(1)已知点$A(3,-6)$,在点$B(-4,1)$,$C(-3,7)$,$D(2,-5)$中,与点$A$互为“等差点”的是B，D；
(2)若点$M(-2,4)与点N(1,n+1)(n＞0)$互为“等差点”,求点$N$的坐标.
点$N$的坐标为$(1,3)$。

答案：
(1)
首先，根据点$A(3,-6)$，其到$x$轴的距离为$\vert -6\vert = 6$，到$y$轴的距离为$\vert 3\vert = 3$，则点$A$到$x$轴、$y$轴的距离之差的绝对值为$\vert6 - 3\vert= 3$。
对于点$B(-4,1)$，到$x$轴的距离为$\vert1\vert = 1$，到$y$轴的距离为$\vert -4\vert = 4$，距离之差的绝对值为$\vert1 - 4\vert = 3$。
对于点$C(-3,7)$，到$x$轴的距离为$\vert7\vert = 7$，到$y$轴的距离为$\vert -3\vert = 3$，距离之差的绝对值为$\vert7 - 3\vert = 4$。
对于点$D(2,-5)$，到$x$轴的距离为$\vert -5\vert = 5$，到$y$轴的距离为$\vert 2\vert = 2$，距离之差的绝对值为$\vert5 - 2\vert = 3$。
所以与点$A$互为“等差点”的是$B$，$D$。
(2)
点$M(-2,4)$到$x$轴的距离为$\vert4\vert = 4$，到$y$轴的距离为$\vert -2\vert = 2$，则点$M$到$x$轴、$y$轴的距离之差的绝对值为$\vert4 - 2\vert = 2$。
因为点$M(-2,4)$与点$N(1,n + 1)(n\gt0)$互为“等差点”，点$N(1,n + 1)$到$x$轴的距离为$\vert n + 1\vert$，到$y$轴的距离为$\vert1\vert = 1$，所以$\vert\vert n + 1\vert - 1\vert = 2$。
当$\vert n + 1\vert - 1 = 2$时，$\vert n + 1\vert = 3$，因为$n\gt0$，所以$n + 1 = 3$，解得$n = 2$。
当$\vert n + 1\vert - 1 = -2$时，$\vert n + 1\vert = -1$，无解。
所以点$N$的坐标为$(1,3)$。

21. (10分)【问题背景】
在平面直角坐标系中,$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,点$C是线段AB$的中点,则点$C的坐标为\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$. 如：若$A(-1,1)$,$B(3,3)$,则$AB的中点C的坐标为\left(\frac{-1+3}{2},\frac{1+3}{2}\right)$,即点$C的坐标为(1,2)$.
【解决问题】
(1)若$A(6,-2)$,$B(-3,-3)$,则线段$AB的中点M$的坐标是$\left(\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)$；
(2)若点$P(-3,7)$,线段$PQ的中点坐标为(-1,5)$,则点$Q$的坐标是$(1,3)$；
(3)已知三点$E(4,-2)$,$F(-3,-1)$,$G(-1,-4)$,第四个点$H(x,y)与点E$、点$F$、点$G$中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合,求点$H$的坐标.
点$H$的坐标为$(-8,-3)$或$(6,-5)$或$(2,1)$。

答案：
(1)
已知$A(6,-2)$，$B(-3,-3)$，根据中点坐标公式，若$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，点$C$是线段$AB$的中点，则点$C$的坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$。
对于$A(6,-2)$，$B(-3,-3)$，$x=\frac{6+( - 3)}{2}=\frac{3}{2}$，$y=\frac{-2+( - 3)}{2}=-\frac{5}{2}$。
所以线段$AB$的中点$M$的坐标是$(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$。
(2)
设$Q(x,y)$，已知$P(-3,7)$，$PQ$中点坐标为$(-1,5)$。
根据中点坐标公式$\frac{-3 + x}{2}=-1$，解得$x = 1$；$\frac{7 + y}{2}=5$，解得$y = 3$。
所以点$Q$的坐标是$(1,3)$。
(3)
①若$EH$的中点与$FG$的中点重合。
$F(-3,-1)$，$G(-1,-4)$，$FG$中点坐标为$(\frac{-3-1}{2},\frac{-1 - 4}{2})$，即$(-2,-\frac{5}{2})$。
设$H(x,y)$，$E(4,-2)$，$EH$中点坐标为$(\frac{4 + x}{2},\frac{-2 + y}{2})$。
则$\begin{cases}\frac{4 + x}{2}=-2\\frac{-2 + y}{2}=-\frac{5}{2}\end{cases}$，
由$\frac{4 + x}{2}=-2$得$4+x=-4$，$x=-8$；
由$\frac{-2 + y}{2}=-\frac{5}{2}$得$-2 + y=-5$，$y=-3$。
②若$FH$的中点与$EG$的中点重合。
$E(4,-2)$，$G(-1,-4)$，$EG$中点坐标为$(\frac{4-1}{2},\frac{-2 - 4}{2})$，即$(\frac{3}{2},-3)$。
设$H(x,y)$，$F(-3,-1)$，$FH$中点坐标为$(\frac{-3 + x}{2},\frac{-1 + y}{2})$。
则$\begin{cases}\frac{-3 + x}{2}=\frac{3}{2}\\frac{-1 + y}{2}=-3\end{cases}$，
由$\frac{-3 + x}{2}=\frac{3}{2}$得$-3+x = 3$，$x = 6$；
由$\frac{-1 + y}{2}=-3$得$-1 + y=-6$，$y=-5$。
③若$GH$的中点与$EF$的中点重合。
$E(4,-2)$，$F(-3,-1)$，$EF$中点坐标为$(\frac{4-3}{2},\frac{-2 - 1}{2})$，即$(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。
设$H(x,y)$，$G(-1,-4)$，$GH$中点坐标为$(\frac{-1 + x}{2},\frac{-4 + y}{2})$。
则$\begin{cases}\frac{-1 + x}{2}=\frac{1}{2}\\frac{-4 + y}{2}=-\frac{3}{2}\end{cases}$，
由$\frac{-1 + x}{2}=\frac{1}{2}$得$-1+x = 1$，$x = 2$；
由$\frac{-4 + y}{2}=-\frac{3}{2}$得$-4 + y=-3$，$y = 1$。
综上，点$H$的坐标为$(-8,-3)$或$(6,-5)$或$(2,1)$。