《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. 某工厂加工一批产品,为了提前交货,规定每个工人完成100个以内,每个产品付报酬1.5元；超过100个,超过部分每个产品付报酬增加0.3元；超过200个,超过部分除按上述规定外,每个产品再增加0.4元. 求一个工人：
(1)完成100个以内所得报酬$ y $(单位：元)与产品数$ x $(单位：个)之间的函数关系式；
(2)完成100个以上,但不超过200个所得报酬$ y $(单位：元)与产品数$ x $(单位：个)之间的函数关系式；
(3)完成200个以上所得报酬$ y $(单位：元)与产品数$ x $(单位：个)之间的函数关系式.

答案：
(1)当 $0 ＜ x \leq 100$ 时：
$y = 1.5x$
(2)当 $100 ＜ x \leq 200$ 时：
前100个产品的报酬为 $1.5 × 100 = 150(元)$ ，
超过100个的部分报酬为 $(x - 100) × (1.5 + 0.3) = 1.8(x - 100)(元)$ ，
所以，$y = 150 + 1.8(x - 100) = 1.8x - 30$。
(3)当 $x ＞ 200$ 时：
前100个产品的报酬为 $1.5 × 100 = 150(元)$ ，
100到200个之间的报酬为 $100 × 1.8 = 180(元)$ ，
超过200个的部分报酬为 $(x - 200) × (1.5 + 0.3 + 0.4) = 2.2(x - 200)(元)$ ，
所以，$y = 150 + 180 + 2.2(x - 200) = 2.2x - 110$。

2. 某市为了节约用水,采用分段收费标准. 设居民每月应交水费为$ y $(单位：元),用水量为$ x $(单位：立方米).


(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时,水费与用水量之间的关系式.
(2)若某户居民某月用水量为7立方米,则应交水费多少元？
(3)若某户居民某月交水费26元,则该户居民月用水多少立方米？

答案：
(1)
当$0\lt x\leq10$时，$y = 2x$；
当$x\gt10$时，$y=2×10 + 3(x - 10)=3x - 10$。
(2)
因为$7\lt10$，把$x = 7$代入$y = 2x$，得$y=2×7 = 14$（元）。
(3)
当$x = 10$时，$y=2×10 = 20$（元）。
因为$26\gt20$，所以用水量超过$10$立方米。
把$y = 26$代入$y = 3x - 10$，得$26=3x - 10$，
$3x=36$，
解得$x = 12$（立方米）。
综上，答案依次为：
(1)$y = 2x(0\lt x\leq10)$，$y = 3x - 10(x\gt10)$；
(2)$14$元；
(3)$12$立方米。

3. 某校迎来了一百二十年校庆,为了准备校庆,校方决定准备一场别开生面的文艺演出,有歌唱、舞蹈、小舞台剧等节目,为此学校需要采购一批演出服装. 现有质量较好且价格合理的A,B两家公司供选择,这两家公司给出的价格都是每套服装100元,经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打八折,但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折,超过100套时,超出部分每套打七折,校方不用承担运费.
(1)分别求出学校购买A,B两公司服装所付的总费用$ y_1 $(单位：元)和$ y_2 $(单位：元)与购买服装的数量$ x $(单位：套)之间的函数关系式；
(2)如果该校根据演出人数决定购买180套服装,请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少.

答案：
(1)
A公司：
每套服装单价为$100×0.8 = 80$元，总费用为服装费用加运费，
$y_1 = 80x + 1500$（$x$为正整数）。
B公司：
当$0 ＜ x \leq 100$时，不打折，$y_2 = 100x$；
当$x ＞ 100$时，前100套费用为$100×100 = 10000$元，超出部分$(x - 100)$套单价为$100×0.7 = 70$元，
$y_2 = 10000 + 70(x - 100) = 70x + 3000$。
综上，$y_2=\begin{cases}100x & (0 ＜ x \leq 100, x为正整数) \\ 70x + 3000 & (x ＞ 100, x为正整数)\end{cases}$。
(2)
购买180套服装，即$x = 180$。
A公司：$y_1 = 80×180 + 1500 = 14400 + 1500 = 15900$元。
B公司：$x = 180 ＞ 100$，$y_2 = 70×180 + 3000 = 12600 + 3000 = 15600$元。
因为$15900 ＞ 15600$，所以选择B公司花费更少。
结论：学校选择B公司的服装花费更少。