《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

11. 一个三位数的三个数字的和是$17$,百位数字与十位数字的和比个位数字大$3$,如果把个位数字与百位数字的位置对调,那么所得的三位数比原数大$495$,求原来的三位数。

答案： 设原来的三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$。
根据题意，可以列出以下三个方程：
$x + y + z = 17$ （方程1：三个数字的和是17）。
$x + y - z = 3$ （方程2：百位数字与十位数字的和比个位数字大3）。
$100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 495$ （方程3：个位数字与百位数字对调后，新数比原数大495）。
将方程3化简，得到：
$99z - 99x = 495$，
$z - x = 5$ （方程4：个位数字比百位数字大5）。
接下来，解这个三元一次方程组：
由方程1和方程2相减，得到：
$2z = 14$，
$z = 7$。
将$z = 7$代入方程4，得到：
$x = 2$。
再将$x = 2$和$z = 7$代入方程1，得到：
$y = 8$。
因此，原来的三位数是$287$。

12. (新考法·新定义阅读)对于有理数$x$,$y$,定义新运算：$x * y = ax + by + c$,其中$a$,$b$,$c$是常数,等式右边是通常的加法与乘法运算。已知$1 * 2 = 9$,$(-3) * 3 = 6$,$0 * 1 = 2$。
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)求$(-2) * 5$的值。

答案：
(1)
根据新运算定义$x*y = ax + by + c$以及已知条件可得：
$\begin{cases}1*2=a + 2b + c = 9&(1)\\-3*3=-3a + 3b + c = 6&(2)\\0*1=b + c = 2&(3)\end{cases}$
由$(1)$式可得$a=9 - 2b - c$，将其代入$(2)$式：
$-3(9 - 2b - c)+3b + c = 6$
$-27+6b + 3c+3b + c = 6$
$9b + 4c=33\ (4)$
由$(3)$式可得$c = 2 - b$，将其代入$(4)$式：
$9b+4(2 - b)=33$
$9b + 8-4b=33$
$5b=25$
解得$b = 5$
把$b = 5$代入$(3)$式，$5 + c = 2$，解得$c=-3$
把$b = 5$，$c = - 3$代入$(1)$式，$a+2×5-3 = 9$，$a+10 - 3 = 9$，解得$a = 2$
所以$a = 2$，$b = 5$，$c=-3$
(2)
因为$a = 2$，$b = 5$，$c=-3$，所以$x*y = 2x + 5y-3$
则$(-2)*5=2×(-2)+5×5-3$
$=-4 + 25-3$
$=18$
答：
(1)$a = 2$，$b = 5$，$c=-3$；
(2)$18$。

13. 为了推动消费市场快速回暖,加快消费水平复苏和振兴,某市人民政府决定举办消费券多次投放活动,每期消费券共可减$68$元,共$5$张,其中$A型1$张、$B型2$张、$C型2$张,如下表：

在此次活动中,小明父母领到多期消费券。
(1)若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了$199$元,已知她用了$3张A$型消费券、$5张B$型消费券,则用了______张$C$型消费券。
(2)已知小明父母使用消费券共减了$230$元。
①若他们用$12$张三种不同类型的消费券消费,已知$C型比A型的消费券多1$张,请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？
②若他们共领到$6$期消费券(部分未使用),用$A$,$B$,$C$型中的两种不同类型的消费券消费,直接写出他们使用哪两种消费券各多少张。

(1)7
(2)①$A$型$5$张，$B$型$1$张，$C$型$6$张
②使用$A$型$5$张，$B$型$4$张或$A$型$5$张，$C$型$8$张

答案： （1）答案为$7$；（2）①$A$型$5$张，$B$型$1$张，$C$型$6$张；②使用$A$型$5$张，$B$型$4$张或$A$型$5$张，$C$型$8$张。1. （1）
设用了$x$张$C$型消费券。
已知$A$型消费券每张减$38$元，$B$型消费券每张减$10$元，$C$型消费券每张减$5$元。
根据“$A$型消费券减的钱数$+$ $B$型消费券减的钱数$+$ $C$型消费券减的钱数$ = 199$元”，可列方程：
$3×38 + 5×10+5x=199$。
先计算$3×38 = 114$，$5×10 = 50$，则方程变为$114 + 50+5x=199$。
即$164+5x=199$。
移项得$5x=199 - 164$，$5x=35$，解得$x = 7$。
2. （2）①
设$A$型消费券用了$y$张，则$C$型消费券用了$y + 1$张，$B$型消费券用了$12-(y + y + 1)=11 - 2y$张。
根据“$A$型消费券减的钱数$+$ $B$型消费券减的钱数$+$ $C$型消费券减的钱数$ = 230$元”，可列方程：
$38y+10(11 - 2y)+5(y + 1)=230$。
展开括号得$38y+110-20y + 5y+5=230$。
合并同类项得$(38y-20y + 5y)+(110 + 5)=230$，即$23y+115=230$。
移项得$23y=230 - 115$，$23y=115$。
解得$y = 5$。
则$C$型消费券：$y + 1=5 + 1 = 6$（张），$B$型消费券：$11-2y=11-2×5 = 1$（张）。
3. （2）②
因为共领到$6$期消费券，$A$型券最多$6$张，$B$型券最多$12$张，$C$型券最多$12$张。
设使用$A$型$m$张，$B$型$n$张，则$38m + 10n=230$，化简得$19m+5n = 115$，$n=\frac{115 - 19m}{5}$，当$m = 5$时，$n=\frac{115-19×5}{5}=\frac{115 - 95}{5}=4$。
设使用$A$型$a$张，$C$型$b$张，则$38a+5b=230$，$b=\frac{230 - 38a}{5}$，当$a = 5$时，$b=\frac{230-38×5}{5}=\frac{230 - 190}{5}=8$。
设使用$B$型$x$张，$C$型$z$张，则$10x + 5z=230$，化简得$2x+z = 46$，$z = 46 - 2x$，因为$x\leqslant12$，$z\leqslant12$，此方程无符合条件的正整数解。