《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

10. 如图,点 A 的坐标为$(-\sqrt{2}, 0)$,点 B 在直线$y = x$上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为(A)

A.$(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$
C.$(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
D.$(0, 0)$

答案： A

11. (上海中考)若正比例函数$y = kx的图象经过点(7, -13)$,则 y 的值随 x 的增大而减小.(填“增大”或“减小”)

答案： 减小

12. 已知一次函数$y = -\frac{1}{2}x + 2$,当$1 \leq x \leq 4$时,y 的最大值是$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$（或$1.5$对应的选项（若有选项的话，本题直接填数值））

13. 已知关于 x 的方程$ax - b = 1的解为x = -2$,则一次函数$y = ax - b - 1$的图象与 x 轴交点的坐标为$(-2,0)$.

答案： $(-2,0)$（或填写为对应选项字母如：__（根据实际选项填写，原题未给选项则直接写坐标）__，此处按要求直接给坐标）

14. 如图,已知$Rt\triangle ABC$的顶点 A,C 的坐标分别为$A(-2, 2)$,$C(1, 1)$,若一次函数$y = -2x + b的图象与Rt\triangle ABC$的边有交点,则 b 的取值范围为[-3,3].

答案： [-3,3]

15. 如图,已知一次函数$y = -\frac{3}{4}x + 3$的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,点 C 在线段AB 上,且$OC = 2.4$,直线 OC 与$\angle OBA$的平分线交于 D 点,则点 D 的横坐标与它的纵坐标的和为______。

$\frac{21}{10}$

答案： 【解析】：
1. 求A、B坐标：令y=0得A(4,0)；令x=0得B(0,3)。
2. 求C点坐标：设C(x,y)在AB上，满足y=-3/4x+3，且OC=2.4，即x²+y²=5.76。代入得x²+(-3/4x+3)²=5.76，解得x=36/25，y=48/25，故C(36/25,48/25)。
3. 直线OC方程：斜率k=48/36=4/3，方程为y=4/3x。
4. ∠OBA平分线方程：顶点B(0,3)，两边BO(x=0)和BA(3x+4y-12=0)。设角平分线上点(x,y)，由距离相等得x=|3x+4y-12|/5，结合内部点符号得x=(-3x-4y+12)/5，化简得2x+y=3。
5. 求D点：联立y=4/3x与2x+y=3，解得x=9/10，y=6/5。横纵坐标和为9/10+6/5=21/10。
【答案】：21/10

16. (9 分)如图,在一个边长为 12cm 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形,当小正方形的边长由小到大变化时,图中阴影部分的面积也随之发生变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么？
(2)如果小正方形的边长为 x cm,图中阴影部分的面积为 y $cm^2$,请写出 y 与 x 之间的关系式.
(3)当小正方形的边长由 1cm 变化到 5cm 时,图中阴影部分的面积是怎样变化的？

答案：
(1)自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积。
(2)原正方形面积为$12×12 = 144cm^2$，四个小正方形面积为$4x^{2}cm^2$，则$y = 144 - 4x^{2}$。
(3)当$x = 1$时，$y = 144 - 4×1^{2}=140$；当$x = 5$时，$y = 144 - 4×5^{2}=44$。
因为$y = 144 - 4x^{2}$中$-4\lt0$，所以当小正方形的边长由$1cm$变化到$5cm$时，图中阴影部分的面积由$140cm^2$减少到$44cm^2$。