《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

22. (12 分)公元 3 世纪,古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边 $ a $,$ b $ 与斜边 $ c $ 满足关系式 $ a^2 + b^2 = c^2 $. 还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足 $ a^2 + b^2 = c^2 $,则这个三角形是直角三角形.
(1) 小明发现证明勾股定理的新方法：如图 1,在正方形 $ ACDE $ 的边 $ CD $ 上取点 $ B $,连接 $ AB $,得到 $ Rt \triangle ACB $,三边分别为 $ a $,$ b $,$ c $,剪下 $ \triangle ACB $ 把它拼接 到 $ \triangle AEF $ 的位置,如图 2,请利用面积不变说明勾股定理.
(2) 一个零件的形状如图 3 所示,按规定这个零件中 $ \angle A $ 和 $ \angle C $ 都应是直角,小明已测得这个零件各边的尺寸(单位：cm),这个零件符合要求吗？

答案：
(1) 见解析；
(2) 不符合要求。

23. (13 分)数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用. 已知长方形纸片 $ ABCD $,$ AD = 4 $,$ DC = 3 $,$ P $ 为长方形纸片 $ ABCD $ 边 $ AD $ 上一动点,连接 $ CP $,将 $ \triangle CDP $ 沿 $ CP $ 折叠,点 $ D $ 落在点 $ D' $ 处.
(1) 求 $ AC $ 的长；
(2) 如图 1,当点 $ D' $ 在线段 $ AC $ 上时,求 $ PD $ 的长；
(3) 如图 2,当点 $ P $ 与点 $ A $ 重合时,沿 $ CA $ 将 $ \triangle CAD $ 折叠得 $ \triangle CAD' $,$ AD' $ 与 $ BC $ 交于点 $ E $,求 $ \triangle ACE $ 的面积.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，AD=4，DC=3。在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²=4²+3²=25，
∴AC=5。
(2) 设PD=x，由折叠得PD=PD'=x，CD'=CD=3，∠CD'P=∠D=90°。
∵AC=5，D'在AC上，
∴AD'=AC-CD'=5-3=2，∠AD'P=180°-∠CD'P=90°。
∵AD=4，
∴AP=AD-PD=4-x。在Rt△AD'P中，AP²=AD'²+PD'²，即(4-x)²=2²+x²，解得x=3/2。
∴PD=3/2。
(3) 由折叠得∠CAD'=∠CAD。
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=4，BC//AD，∠B=90°，AB=DC=3。
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠ACB=∠CAD'，
∴AE=EC。设AE=EC=y，则BE=BC-EC=4-y。在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即3²+(4-y)²=y²，解得y=25/8。
∴S△ACE=1/2×EC×AB=1/2×25/8×3=75/16。