《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

20. (8 分)(新考法·新定义阅读)将平面直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫作此一次函数的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形). 如图,一次函数$y = kx - 7$的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,那么$\triangle ABO$为此一次函数的坐标三角形(也称为直线 AB 的坐标三角形).
(1)如果点 C 在 x 轴上,将$\triangle ABC$沿着直线 AB 翻折,使点 C 落在点$D(0, 18)$上,求直线 BC 的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数$y = kx - 7$的坐标三角形的周长是 21,求 k 的值.

答案：
(1)由题意，一次函数$y=kx-7$与$y$轴交于$B(0,-7)$，与$x$轴交于$A\left(\frac{7}{k},0\right)$。点$C$在$x$轴上，设$C(c,0)$，翻折后$C$落在$D(0,18)$，则$AB$是$CD$的垂直平分线，故$BC=BD$。
$B(0,-7)$，$D(0,18)$，则$BD=|18-(-7)|=25$。$C(c,0)$，$BC=\sqrt{c^2+(-7-0)^2}=\sqrt{c^2+49}=25$，解得$c^2=576$，$c=\pm24$。
$CD$中点$E\left(\frac{c}{2},9\right)$在直线$AB$上，代入$y=kx-7$得$9=k\cdot\frac{c}{2}-7$，即$kc=32$。当$c=24$时，$k=\frac{4}{3}$；$c=-24$时，$k=-\frac{4}{3}$。直线$BC$的坐标三角形两直角边为$|c|$和$| -7 |$，面积$S=\frac{1}{2}×|c|×7=\frac{1}{2}×24×7=84$。
(2)坐标三角形$\triangle ABO$中，$OA=\left|\frac{7}{k}\right|$，$OB=7$，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{\left(\frac{7}{k}\right)^2+49}$。周长$OA+OB+AB=21$，即$\left|\frac{7}{k}\right|+7+\sqrt{\left(\frac{7}{k}\right)^2+49}=21$。
设$a=\left|\frac{7}{k}\right|$，则$a+\sqrt{a^2+49}=14$，解得$a=\frac{21}{4}$。故$\left|\frac{7}{k}\right|=\frac{21}{4}$，$|k|=\frac{4}{3}$，$k=\pm\frac{4}{3}$。
(1) 84；
(2)$k=\pm\frac{4}{3}$。

21. (10 分)辽宁滨海大道是中国最长的沿海公路,全长 1443 公里. 甲、乙两车从辽宁滨海大道的 A 地出发,沿同一路线驶向 B 地,甲车先出发匀速驶向 B 地,40min 后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时. 由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了 50km/h,结果与甲车同时到达 B 地,甲、乙两车距 A 地的路程 y(单位：km)与乙车行驶时间 x(单位：h)之间的函数图象如图所示.
(1)$a = $4.5,A 地到 B 地的距离为______460 km,甲的速度是______60 km/h；
(2)写出点 C 的坐标,并说出点 C 表示的实际意义是什么；
(3)直接写出线段 CF 对应的函数表达式,并求乙刚到达货站时,甲距 B 地还有多远；
(4)求乙车出发多少分钟追上甲车.

答案：
(1) 4.5；460；60
(2) 点C的坐标为(0,40)，表示乙车出发时（乙车行驶时间为0h），甲车距A地的路程为40km。
(3) 线段CF对应的函数表达式为$y = 60x + 40$；乙刚到达货站时，甲距B地180km。
(4) 80分钟。