《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

22. (10分)嘉琪准备完成题目“计算：$(1 - \sqrt{3})^{2} - ■ × \sqrt{\frac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$”时,发现“$■$”处的数字印刷不清楚。
(1)他把“$■$”处的数字猜成$-6$,请你计算：$(1 - \sqrt{3})^{2} - (-6) × \sqrt{\frac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$的结果。

(2)他妈妈说：“你猜错了,我看到该题标准答案是$-2\sqrt{3}$。”通过计算说明原题中“$■$”是几。

答案：
(1) 原式 = (1 - 2√3 + 3) + 6×√(1/3) + (3 - 4)
= 4 - 2√3 + 6×(√3/3) - 1
= 4 - 2√3 + 2√3 - 1
= 3
(2) 设“■”处数字为 $ x $，则
原式 = (1 - 2√3 + 3) - $ x $×√(1/3) + (3 - 4)
= 4 - 2√3 - $ x $×(√3/3) - 1
= 3 - 2√3 - (x√3)/3
由题意得：3 - 2√3 - (x√3)/3 = -2√3
化简得：3 = (x√3)/3
解得：$ x = 3√3 $
(1) 3
(2) $ 3√3 $

23. (12分)【阅读材料】
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a$,$b$,$m$,$n$均为正整数),则有$a + b\sqrt{2} = m^{2} + 2n^{2} + 2mn\sqrt{2}$,所以$a = m^{2} + 2n^{2}$,$b = 2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。
【问题解决】
(1)当$a$,$b$,$m$,$n$均为正整数时,若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$,用含$m$,$n的式子分别表示a$,$b$,得$a = $$m^{2}+3n^{2}$,$b = $$2mn$；
(2)利用所探索的结论,找一组正整数$a$,$b$,$m$,$n$填空：12$ + $6$\sqrt{3} = ($3$ + $1$\sqrt{3})^{2}$；
(3)若$a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$,且$a$,$m$,$n$均为正整数,求$a$的值；
因为$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$b = 2mn = 4$，则$mn = 2$。
因为$m$，$n$均为正整数，所以$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$或$\begin{cases}m = 2\\n = 1\end{cases}$。当$m = 1$，$n = 2$时，$a=m^{2}+3n^{2}=1 + 3×2^{2}=1 + 12 = 13$；当$m = 2$，$n = 1$时，$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3=7$。
所以$a$的值为$7$或$13$。
【拓展延伸】
(4)化简：$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = $$\sqrt{5}-\sqrt{2}$。

答案：
(1)
$a = m^{2}+3n^{2}$；$b = 2mn$
(2)
$12$；$6$；$3$；$1$（答案不唯一）
(3)
因为$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mn\sqrt{3}$，所以$b = 2mn = 4$，则$mn = 2$。
因为$m$，$n$均为正整数，所以$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$或$\begin{cases}m = 2\\n = 1\end{cases}$或$\begin{cases}m=4,n = \frac{1}{（舍去，因为n为正整数）}\end{cases}$等，当$m = 1$，$n = 2$时，$a=m^{2}+3n^{2}=1 + 3×2^{2}=1 + 12 = 13$；当$m = 2$，$n = 1$时，$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=4 + 3=7$。
所以$a$的值为$7$或$13$。
(4)
因为$7 - 2\sqrt{10}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}=5 + 2-2\sqrt{10}=7 - 2\sqrt{10}$，所以$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$
综上，答案依次为：
(1)$m^{2}+3n^{2}$；$2mn$；
(2)$12$；$6$；$3$；$1$（答案不唯一）；
(3)$7$或$13$；
(4)$\sqrt{5}-\sqrt{2}$。