《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

8. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物,当该读物首次出版印刷的印数不少于 $ 5000 $ 册时,投入的成本 $ y $(元)与印数 $ x $(册)之间的相应数据如下表：

(1) 经过对上表中数据的探究,发现这种读物的投入成本 $ y $(元)是印数 $ x $(册)的一次函数,求这个一次函数的表达式.(不要求写出 $ x $ 的取值范围)
(2) 如果出版社投入成本 $ 48000 $ 元,那么能印该读物多少册？

答案：
(1)设一次函数表达式为$y=kx+b$，将$x=5000$，$y=28500$和$x=8000$，$y=36000$代入，得$\begin{cases}5000k + b = 28500 \\8000k + b = 36000\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2.5 \\b = 16000\end{cases}$，表达式为$y = 2.5x+16000$。
(2)当$y = 48000$时，$2.5x+16000=48000$，解得$x = 12800$。
答：
(1)一次函数表达式为$y = 2.5x + 16000$；
(2)能印该读物12800册。

9. 小刚家、学校、图书馆依次在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计). 小刚离家的距离 $ y(\mathrm{m}) $ 与他所用的时间 $ x(\mathrm{min}) $ 的函数关系如图所示.
(1) 小刚家与学校的距离为 $\underline{3000}\mathrm{m}$,小刚骑自行车的速度为 $\underline{200}\mathrm{m/min}$.
(2) 求小刚从图书馆返回家的过程中,$ y $ 与 $ x $ 的函数表达式.
$y = - 200x + 9000(20\leq x\leq45)$
(3) 小刚出发 $ 35 \mathrm{min} $ 时,他离家有多远？
$2000\mathrm{m}$

答案：
(1) 从图中可知，学校到小刚家距离为$3000 - 0 = 3000$（$m$）（当时间为$0$时，离家的距离是$0$，$20min$时离家的距离是$5000m$，此时在图书馆，学校在离家$3000m$处），小刚骑自行车的速度为$(5000 - 3000)÷10 = 200$（$m/min$）。
故小刚家与学校的距离为$3000m$，小刚骑自行车的速度为$200m/min$。
(2) 小刚从图书馆返回家所需时间为：
$5000÷200 = 25$（$min$）。
$20 + 25 = 45$（$min$），即$x$的取值范围是$20\leq x\leq45$。
设$y$与$x$的函数表达式为$y = kx + b$，把$(20,5000)$，$(45,0)$代入得：
$\begin{cases}20k + b = 5000,\\45k + b = 0.\end{cases}$
用$45k + b = 0$减去$20k + b = 5000$可得：
$25k=-5000$，
$k = - 200$，
把$k = - 200$代入$20k + b = 5000$得：
$20×(-200)+b = 5000$，
$-4000 + b = 5000$，
$b = 9000$。
所以$y$与$x$的函数表达式为$y = - 200x + 9000(20\leq x\leq45)$。
(3) 当$x = 35$时，$y=-200×35 + 9000=-7000 + 9000 = 2000$（$m$）。
综上，答案依次为：
(1)$3000$，$200$；
(2)$y = - 200x + 9000(20\leq x\leq45)$；
(3)$2000m$。

10. 已知 $ A $,$ B $ 两地相距 $ 240 \mathrm{km} $,一辆货车从 $ A $ 地前往 $ B $ 地,途中因装载货物停留一段时间. 一辆轿车沿同一条公路从 $ B $ 地前往 $ A $ 地,到达 $ A $ 地后(在 $ A $ 地停留时间不计)立即原路原速返回. 如图是两车距 $ B $ 地的距离 $ y(\mathrm{km}) $ 与货车行驶时间 $ x(\mathrm{h}) $ 之间的函数图象,结合图象回答下列问题：
(1) 图中 $ m $ 的值是 $\underline{4}$,轿车的速度是 $\underline{160}\mathrm{km/h}$；
(2) 求货车从 $ A $ 地前往 $ B $ 地的过程中,货车距 $ B $ 地的距离 $ y(\mathrm{km}) $ 与行驶时间 $ x(\mathrm{h}) $ 之间的函数表达式；
(3) 直接写出轿车从 $ B $ 地到 $ A $ 地行驶的过程中,轿车出发多长时间与货车相距 $ 12 \mathrm{km} $.

(2) 当 $0 \leq x \leq 2.5$ 时，设 $y = k_1x + b_1$，过点 $(0,240)$ 和 $(2.5,75)$， 代入得 $\begin{cases} b_1 = 240 \\ 2.5k_1 + b_1 = 75 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k_1 = -66 \\ b_1 = 240 \end{cases}$，表达式为 $y = -66x + 240$； 当 $2.5 \leq x \leq 3.5$ 时，停留，$y = 75$； 当 $3.5 \leq x \leq 4$ 时，设 $y = k_2x + b_2$，过点 $(3.5,75)$ 和 $(4,0)$， 代入得 $\begin{cases} 3.5k_2 + b_2 = 75 \\ 4k_2 + b_2 = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k_2 = -150 \\ b_2 = 600 \end{cases}$，表达式为 $y = -150x + 600$。 (3) $\frac{81}{113}$ 小时和 $\frac{93}{113}$ 小时

答案：
(1) 4；160
(2) 当 $0 \leq x \leq 2.5$ 时，设 $y = k_1x + b_1$，过点 $(0,240)$ 和 $(2.5,75)$，
代入得 $\begin{cases} b_1 = 240 \\ 2.5k_1 + b_1 = 75 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k_1 = -66 \\ b_1 = 240 \end{cases}$，表达式为 $y = -66x + 240$；
当 $2.5 \leq x \leq 3.5$ 时，停留，$y = 75$；
当 $3.5 \leq x \leq 4$ 时，设 $y = k_2x + b_2$，过点 $(3.5,75)$ 和 $(4,0)$，
代入得 $\begin{cases} 3.5k_2 + b_2 = 75 \\ 4k_2 + b_2 = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k_2 = -150 \\ b_2 = 600 \end{cases}$，表达式为 $y = -150x + 600$。
(3) $\frac{81}{113}$ 小时和 $\frac{93}{113}$ 小时