《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

1. 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,一次函数 $y = -\frac{1}{2}x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A$,$B$ 两点,正比例函数的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C(m,4)$。
(1) 求 $m$ 的值及 $l_{2}$ 的函数表达式；
(2) 求 $S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC}$ 的值；
(3) 若一次函数 $y = kx + 1$ 的图象为 $l_{3}$,且 $l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}$ 不能围成三角形,求 $k$ 的值。

答案：
(1) $ m=2 $，$ l_2: y=2x $；
(2) $ 15 $；
(3) $ k = -\frac{1}{2}, 2, \frac{3}{2} $。

2. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $l_{1}:y = \frac{1}{2}x + 3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为点 $A$ 和点 $B$,直线 $l_{2}$ 过点 $B$ 且与 $x$ 轴交于点 $C$,将直线 $l_{1}$ 向下平移 $4$ 个单位长度得到直线 $l_{3}$,已知直线 $l_{3}$ 刚好过点 $C$ 且与 $y$ 轴交于点 $D$。
(1) 求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；
(2) 求四边形 $ABCD$ 的面积。

答案：
(1) 对于直线$ l_1: y = \frac{1}{2}x + 3 $，令$ x=0 $，得$ y=3 $，则$ B(0,3) $；令$ y=0 $，得$ \frac{1}{2}x + 3 = 0 $，解得$ x=-6 $，则$ A(-6,0) $。
直线$ l_1 $向下平移4个单位得$ l_3 $，其表达式为$ y = \frac{1}{2}x + 3 - 4 = \frac{1}{2}x - 1 $。
令$ l_3 $中$ y=0 $，得$ \frac{1}{2}x - 1 = 0 $，解得$ x=2 $，则$ C(2,0) $。
设直线$ l_2 $的表达式为$ y = kx + b $，过$ B(0,3) $和$ C(2,0) $，则$ b=3 $，将$ C(2,0) $代入得$ 0 = 2k + 3 $，解得$ k = -\frac{3}{2} $。
故直线$ l_2 $的表达式为$ y = -\frac{3}{2}x + 3 $。
(2) 由$ l_3: y = \frac{1}{2}x - 1 $，令$ x=0 $，得$ y=-1 $，则$ D(0,-1) $。
$ A(-6,0) $，$ C(2,0) $，则$ AC = 2 - (-6) = 8 $。
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AC × |y_B| = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $，
$ S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} × AC × |y_D| = \frac{1}{2} × 8 × 1 = 4 $。
四边形$ ABCD $的面积为$ 12 + 4 = 16 $。
(1) $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $
(2) $ 16 $

3. 如图,已知函数 $y = \frac{1}{2}x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,点 $C$ 与点 $A$ 关于 $y$ 轴对称。
(1) 求直线 $BC$ 的函数表达式；
(2) 设点 $M$ 是 $x$ 轴上的一个动点,过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线,交直线 $AB$ 于点 $P$,交直线 $BC$ 于点 $Q$。
① 若 $\triangle PQB$ 的面积为 $2$,求点 $P$ 的坐标；
② 点 $M$ 在线段 $AC$ 上运动的过程中,连接 $BM$,若 $\angle BMP = \angle BAC$,求点 $Q$ 的坐标。

答案：
(1) 对于函数$y = \frac{1}{2}x + 3$，令$y=0$得$x=-6$，则$A(-6,0)$；令$x=0$得$y=3$，则$B(0,3)$。点$C$与$A$关于$y$轴对称，故$C(6,0)$。设直线$BC$解析式为$y=kx+b$，将$B(0,3)$，$C(6,0)$代入得$\begin{cases}b=3\\6k + b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=3$，所以直线$BC$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 3$。
(2) 设$M(m,0)$，则$P(m,\frac{1}{2}m + 3)$，$Q(m,-\frac{1}{2}m + 3)$。
① $PQ=|(\frac{1}{2}m + 3)-(-\frac{1}{2}m + 3)|=|m|$，$\triangle PQB$的高为点$B$到直线$PQ$的水平距离$|m|$。面积$S=\frac{1}{2}×|m|×|m|=2$，即$m^2=4$，$m=\pm2$。当$m=2$时，$P(2,4)$；当$m=-2$时，$P(-2,2)$。故$P$的坐标为$(2,4)$或$(-2,2)$。
② $M$在线段$AC$上，$m\in[-6,6]$。$\tan\angle BAC=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。$\angle BMP=\angle BAC$，则$\tan\angle BMP=\frac{1}{2}$。由向量夹角正切公式得$\tan\angle BMP=\frac{|m|}{3}=\frac{1}{2}$，$|m|=\frac{3}{2}$。结合题图$Q$在$B$上方，$m＜0$，故$m=-\frac{3}{2}$。则$Q(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2}) + 3)=(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
答案
(1) $y=-\frac{1}{2}x + 3$
(2) ① $(2,4)$或$(-2,2)$ ② $(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$