《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

11. 已知正比例函数 $ y = 3x $ 的图象上有两点 $ A(x_1,y_1) $,$ B(x_2,y_2) $,若 $ x_1 ＞ x_2 $,则下列不等式中一定成立的是(C)
A.$ y_1 + y_2 ＞ 0 $
B.$ y_1 + y_2 ＜ 0 $
C.$ y_1 - y_2 ＞ 0 $
D.$ y_1 - y_2 ＜ 0 $

答案： C

12. 对于函数 $ y = - k^2x $($ k $ 是常数,$ k \neq 0 $)的图象,下列说法不正确的是(C)
A.是一条直线
B.过点 $ \left(\dfrac{1}{k}, - k\right) $
C.经过第一、三象限
D.$ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大而减小

答案： C

13. 若一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 $ A(3,m) $,$ B(n, - 2) $,则一定有(B)
A.$ m ＞ 0 $,$ n ＞ 0 $
B.$ m ＞ 0 $,$ n ＜ 0 $
C.$ m ＜ 0 $,$ n ＞ 0 $
D.$ m ＜ 0 $,$ n ＜ 0 $

答案： B

14. 定义运算“$ * $”：$ a * b = \begin{cases} ab(b ＞ 0), \\ - ab(b \leqslant 0), \end{cases} $ 如：$ 1 * ( - 2) = - 1 × ( - 2) = 2 $,则函数 $ y = 2 * x $ 的图象大致是(C)
]

答案： C

15. 如图,三个正比例函数的图象分别对应表达式：① $ y = ax $,② $ y = bx $,③ $ y = cx $,将 $ a $,$ b $,$ c $ 按从小到大的顺序排列为$a＜c＜b$.

答案： $a＜c＜b$

16. 已知正比例函数 $ y = kx $,当 $ - 4 \leqslant x \leqslant 4 $ 时,函数有最大值 $ 3 $,则 $ k $ 的值为$\frac{3}{4}$或$ - \frac{3}{4}$（或 $0.75$或$-0.75$）.

答案： $\frac{3}{4}$或$ - \frac{3}{4}$（或 $0.75$或$-0.75$）

17. 如图,已知正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $,点 $ A $ 在第四象限,过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴,垂足为点 $ H $,点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $,且 $ \triangle AOH $ 的面积为 $ 3 $.
(1) 求该正比例函数的表达式.
(2) 在 $ x $ 轴上能否找到一点 $ P $,使 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 5 $？若能,求点 $ P $ 的坐标；若不能,请说明理由.

答案：
(1) 因为点A的横坐标为3，且在第四象限，设点A的坐标为(3, y)，其中y＜0。
AH⊥x轴，垂足为H，则H(3,0)，OH=3，AH=|y|=-y。
△AOH的面积为3，由面积公式得：
$\frac{1}{2} × OH × AH = 3$，即$\frac{1}{2} × 3 × (-y) = 3$，
解得$-y=2$，则$y=-2$，故点A的坐标为(3,-2)。
将A(3,-2)代入$y=kx$，得$-2=3k$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
所以正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 能。设点P的坐标为(p,0)。
△AOP的面积为5，点A的坐标为(3,-2)，则△AOP的高为点A到x轴的距离，即$|-2|=2$。
由面积公式得：$\frac{1}{2} × |p| × 2 = 5$，化简得$|p|=5$，
解得$p=5$或$p=-5$。
故点P的坐标为(5,0)或(-5,0)。

18. (新考法·新定义阅读)对某一个函数给出如下定义：对于函数 $ y $,当 $ a \leqslant x \leqslant b $ 时,函数值 $ y $ 满足 $ m \leqslant y \leqslant n $,且满足 $ n - m = k(b - a) $,则称此函数为“$ k $ 系和谐函数”.
(1) 已知正比例函数 $ y = 5x(1 \leqslant x \leqslant 4) $ 为“$ k $ 系和谐函数”,求 $ k $ 的值；
(2) 若正比例函数 $ y = px(1 \leqslant x \leqslant 4) $ 为“$ 3 $ 系和谐函数”,求 $ p $ 的值.

答案：
(1) $ 5 $；
(2) $ \pm 3 $