《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

4. 一次函数$y= \frac {4}{3}x+12$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,一次函数$y= -\frac {3}{4}x+b$的图象经过点B,与x轴交于点C,D是线段OC上一动点,且横坐标为m.
(1)请求出B,C两点的坐标及直线BC的函数表达式.
(2)如图1,过点D作$DF⊥x$轴,分别交直线BC,AB于点E,F.
①线段EF的长为$\frac{25}{12}m$;(用含m的代数式表示)
②在点D运动的过程中,当$EF= DE$时,求点D的坐标.
(3)如图2,连接BD,将$△OBD$沿BD所在直线折叠,得到$△O'BD$(点O的对应点为点$O'$),连接$O'C$.试判断在x轴上是否存在点D,使$△O'CD$是直角三角形? 若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)对于$y=\frac{4}{3}x+12$，令$x=0$，得$y=12$，$\therefore B(0,12)$。
将$B(0,12)$代入$y=-\frac{3}{4}x+b$，得$b=12$，$\therefore$直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+12$。
令$y=0$，则$-\frac{3}{4}x+12=0$，解得$x=16$，$\therefore C(16,0)$。
(2)①$D(m,0)$，$DF\perp x$轴，
$F$在$AB$上：$y=\frac{4}{3}m+12$，$\therefore F(m,\frac{4}{3}m+12)$。
$E$在$BC$上：$y=-\frac{3}{4}m+12$，$\therefore E(m,-\frac{3}{4}m+12)$。
$EF=(\frac{4}{3}m+12)-(-\frac{3}{4}m+12)=\frac{25}{12}m$。
②$DE=(-\frac{3}{4}m+12)-0=-\frac{3}{4}m+12$，
由$EF=DE$得$\frac{25}{12}m=-\frac{3}{4}m+12$，
解得$m=\frac{72}{17}$，$\therefore D(\frac{72}{17},0)$。
(3)存在，$D(6,0)$或$(12,0)$。
答案
(1)$B(0,12)$，$C(16,0)$，直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+12$；
(2)①$\frac{25}{12}m$；②$(\frac{72}{17},0)$；
(3)$(6,0)$或$(12,0)$。

5. 如图1,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A,已知$B(4,0),AB= 4\sqrt {2}$.
(1)求直线AB的表达式.
(2)如图2,点P是x轴负半轴上一点,点C在线段AB上,连接AP,CP,OC,使$AP= CP$,设点P的横坐标为t,$△POC$的面积为S,求S与t的函数关系式.(不要求写出自变量的取值范围)
(3)如图3,在(2)的条件下,将射线AP绕着点A逆时针旋转$45^{\circ }$,交线段OB于点Q,G是y轴负半轴上一点,连接QG,若$AG= PQ+QG$.
①过点Q作$QD⊥AP$于点D,且与线段AO交于点E,求证:$GE= GQ$;
②若$△OGQ$的周长为8,求点Q的坐标.

答案：
(1)$ y=-x+4 $；
(2)$ S=\frac{1}{2}t^2 $；
(3)②$ (2,0) $。