《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

9. 小明在解方程组时遇到了困难,你能根据他的解题过程帮他找出原因吗？并求出原方程组的解。
解方程组$\begin{cases}12x - 3y = 7①,\\6x + y = 1②.\end{cases} $
解：由②,得$y = 1 - 6x③$。
将③代入②,得$6x + (1 - 6x) = 1$。(由于$x$消元,无法继续)

答案： 原因：小明将③代入了原方程②，应代入方程①。
解：由②，得$y=1-6x$③。
将③代入①，得$12x - 3(1 - 6x)=7$。
$12x - 3 + 18x=7$
$30x=10$
$x=\frac{1}{3}$。
将$x=\frac{1}{3}$代入③，得$y=1 - 6×\frac{1}{3}=1 - 2=-1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{3},\\y=-1.\end{cases}$

10. 已知方程组$\begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 6\end{cases} 与方程组\begin{cases}3x - y = 5,\\4x - 7y = 1\end{cases} $的解相同,求$a$,$b$的值。

答案： 解：解方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \\4x - 7y = 1\end{cases}$，
由$3x - y = 5$得$y = 3x - 5$，
代入$4x - 7y = 1$，得$4x - 7(3x - 5) = 1$，
$4x - 21x + 35 = 1$，$-17x = -34$，$x = 2$，
将$x = 2$代入$y = 3x - 5$，得$y = 1$，
故方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\y = 1\end{cases}$。
将$\begin{cases}x = 2 \\y = 1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = 4 \\ax + by = 6\end{cases}$，得$\begin{cases}2a - b = 4 \\2a + b = 6\end{cases}$，
两式相加：$4a = 10$，$a = \frac{5}{2}$，
将$a = \frac{5}{2}$代入$2a - b = 4$，得$5 - b = 4$，$b = 1$。
综上，$a = \frac{5}{2}$，$b = 1$。

11. 海淇准备完成题目：解二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = 13,\\□ x + 4y = -6,\end{cases} $发现系数“$□$”印刷不清楚。
(1) 他把“$□$”猜成3,请你解二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = 13,\\3x + 4y = -6.\end{cases} $
(2) 妈妈说：“你猜错了,我看到该题标准答案$x与y$是一对相反数。”通过计算说明原题中“$□$”是几。

答案：
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 13, \quad①\\3x + 4y = -6. \quad②\end{cases}$
由①得$x = \frac{13 + 3y}{2}$. ③
将③代入②：$3×\frac{13 + 3y}{2} + 4y = -6$.
$3(13 + 3y) + 8y = -12$.
$39 + 9y + 8y = -12$.
$17y = -51$.
$y = -3$.
将$y = -3$代入③：$x = \frac{13 + 3×(-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = -3.\end{cases}$
(2) 设“$□$”为$a$，因为$x$与$y$是相反数，所以$y = -x$.
代入$2x - 3y = 13$：$2x - 3(-x) = 13$.
$2x + 3x = 13$.
$5x = 13$.
$x = \frac{13}{5}$，则$y = -\frac{13}{5}$.
将$x = \frac{13}{5}$，$y = -\frac{13}{5}$代入$ax + 4y = -6$：
$a×\frac{13}{5} + 4×(-\frac{13}{5}) = -6$.
$\frac{13a}{5} - \frac{52}{5} = -6$.
$13a - 52 = -30$.
$13a = 22$.
$a = 2$.
“$□$”的值为$2$.

12. (新考法·新定义阅读)我们规定,关于$x$,$y的二元一次方程ax + by = c$,若满足$a + b = c$,则称这个方程为“最佳”方程。例如：方程$3x + 4y = 7$,其中$a = 3$,$b = 4$,$c = 7$,满足$a + b = c$,则方程$3x + 4y = 7$是“最佳”方程,把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组。
根据上述规定,回答下列问题：
(1) 判断方程$3x + 5y = 8$是“最佳”方程(填“是”或“不是”)；
(2) 若关于$x$,$y的二元一次方程kx + (2k - 1)y = 8$是“最佳”方程,求$k$的值；
(3) 若$\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases} 是关于x$,$y$的“最佳”方程组$\begin{cases}nx + (m - 3)y = 2 - m,\\mx + (n + 1)y = 2m + 3\end{cases} $的解,求$2p + q$的值。

答案： 是
根据题中定义，需要判断方程$3x + 5y = 8$是否满足$a + b = c$的条件。
对于方程$3x + 5y = 8$，有$a = 3$，$b = 5$，$c = 8$。
计算$a + b = 3 + 5 = 8$，与$c$相等。
因此，方程$3x + 5y = 8$满足$a + b = c$的条件，是“最佳”方程。