《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

18.(8分)甲、乙两工程队共同修建$150km$的公路,原计划30个月完工. 实际施工时,甲队通过技术创新,施工效率提高了$50\%$,乙队施工效率不变,结果提前5个月完工. 甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？

答案： 设甲工程队原计划平均每月修建$x$km，乙工程队原计划平均每月修建$y$km。
根据题意，原计划30个月完工，可得方程：
$30(x + y) = 150$，化简为$x + y = 5$ ①
实际施工提前5个月完工，即用时$30 - 5 = 25$个月，甲队效率提高50%后为$1.5x$km/月，乙队效率不变，可得方程：
$25(1.5x + y) = 150$，化简为$1.5x + y = 6$ ②
联立①②，② - ①得：
$1.5x + y - (x + y) = 6 - 5$
$0.5x = 1$
解得$x = 2$
将$x = 2$代入①得：$2 + y = 5$，解得$y = 3$
答：甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。

19.(8分)一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶,载客火车长$150m$,运货火车长$250m$. 若两车相向而行,从车头相遇到车尾离开共需$10s$；若载客火车从后面追赶运货火车,从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需$100s$,试求两车的速度.

答案： 设载客火车的速度为$x$ $m/s$，运货火车的速度为$y$ $m/s$。
当两车相向而行时，它们的相对速度为$x + y$ $m/s$。
从车头相遇到车尾离开，两车共同行驶的距离为两车长度之和，即$150 + 250 = 400(m)$。
根据题意，这段时间为$10s$，所以有方程：
$10(x + y) = 400$，
即：
$x + y = 40 \quad (方程1)$
当载客火车从后面追赶运货火车时，它们的相对速度为$x - y$ $m/s$。
从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车，载客火车需要多行驶的距离为两车长度之和，即$400m$。
根据题意，这段时间为$100s$，所以有方程：
$100(x - y) = 400$，
即：
$x - y = 4 \quad (方程2)$
解方程组（方程1和方程2）得：
$\begin{cases}x + y = 40 \\x - y = 4\end{cases}$，
解得：
$\begin{cases}x = 22 \\y = 18\end{cases}$
答：载客火车的速度为$22$ $m/s$，运货火车的速度为$18$ $m/s$。

20.(9分)在解关于x,y的方程组$\begin{cases}(m + 1)x - ny = 18①,\n + 2)x + my = 1②\end{cases} $时,可以用①×7 -②×3消去未知数x,也可以用①×2 +②×5消去未知数y.
(1)求m和n的值；
(2)求原方程组的解.

答案：
(1)
根据题意，由①$×7 -$②$×3$消去$x$可得：
$7(m + 1)-3(n + 2)=0$，
展开得$7m+7 - 3n - 6 = 0$，
即$7m-3n+1 = 0$；
由①$×2+$②$×5$消去$y$可得：
$-2n + 5m = 0$，
即$5m-2n = 0$。
由$5m-2n = 0$可得$n=\frac{5}{2}m$，
将$n=\frac{5}{2}m$代入$7m-3n + 1 = 0$，
得$7m-3×\frac{5}{2}m+1 = 0$，
$14m-15m+2 = 0$，
$-m+2 = 0$，
解得$m = 2$。
把$m = 2$代入$n=\frac{5}{2}m$，得$n = 5$。
(2)
把$m = 2$，$n = 5$代入原方程组$\begin{cases}(2 + 1)x-5y = 18\\(5 + 2)x+2y = 1\end{cases}$，
即$\begin{cases}3x-5y = 18&①\\7x+2y = 1&②\end{cases}$
$①×2+②×5$得：
$6x-10y+35x + 10y=36 + 5$，
$41x=41$，
解得$x = 1$。
把$x = 1$代入$①$得：
$3-5y = 18$，
$-5y=15$，
解得$y=-3$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y=-3\end{cases}$。

21.(10分)(新考法·学科内综合)某校请广告公司为其制作“童心向团”文艺活动的展板、宣传册和横幅,其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍,广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：


(1)若制作三种产品共计需要$25h$,所获利润为450元,求制作展板、宣传册和横幅的数量；
(2)若广告公司所获利润为700元,且三种产品均有制作,求制作三种产品总量的最小值.

答案：
(1)展板10，宣传册50，横幅10；
(2)75。