《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

10. 用加减消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}0.6x - 0.8y = 1.1,\\0.2x + 0.4y = 2.3;\end{cases} $
(2)$\begin{cases}3(x - 1) = 4(y - 4),\\5(y - 1) = 3(x + 5);\end{cases} $
(3)$\begin{cases}2x + 3y = 15,\\\dfrac{x + 1}{7}= \dfrac{y + 4}{5}.\end{cases} $

答案：
(1)
将方程组$\begin{cases}0.6x - 0.8y = 1.1 \\0.2x + 0.4y = 2.3 \end{cases}$
化简，给第一个方程乘以$5$，第二个方程乘以$ - 3$得：
$\begin{cases}3x - 4y = 5.5\\-0.6x-1.2y=-6.9\end{cases}$
再给第二个方程乘以$5$得：
$\begin{cases}3x - 4y = 5.5 \quad(1)\\-6x - 12y = - 69\quad(2)\end{cases}$
给$(1)$式乘以$2$得$6x-8y = 11\quad(3)$
$(3)+(2)$得：
$-20y=-58$
$y = 2.9$
把$y = 2.9$代入$(1)$式得：
$3x-4×2.9 = 5.5$
$3x-11.6 = 5.5$
$3x=17.1$
$x = 5.7$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5.7\\y = 2.9\end{cases}$
(2)
先将方程组$\begin{cases}3(x - 1) = 4(y - 4)\\5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}$化简：
$\begin{cases}3x-3 = 4y-16\\5y-5 = 3x + 15\end{cases}$
$\begin{cases}3x-4y=-13 \quad(1)\\-3x + 5y=20\quad(2)\end{cases}$
$(1)+(2)$得：
$y = 7$
把$y = 7$代入$(1)$式得：
$3x-4×7=-13$
$3x-28=-13$
$3x = 15$
$x = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases}$
(3)
先将方程$\frac{x + 1}{7}=\frac{y + 4}{5}$化简：
$5(x + 1)=7(y + 4)$
$5x+5 = 7y+28$
$5x-7y = 23\quad(1)$
已知$2x + 3y = 15\quad(2)$
给$(1)$式乘以$2$，$(2)$式乘以$5$得：
$\begin{cases}10x-14y = 46\quad(3)\\10x+15y = 75\quad(4)\end{cases}$
$(4)-(3)$得：
$29y = 29$
$y = 1$
把$y = 1$代入$(2)$式得：
$2x+3×1 = 15$
$2x+3 = 15$
$2x = 12$
$x = 6$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 6\\y = 1\end{cases}$

11. (铁岭银州区校级期末)已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x + 2y - 6 = 0,\\x - 2y + mx + 4 = 0.\end{cases} $
(1)若方程组的解满足$x + y = 0$,求$m$的值；
(2)无论实数$m$取何值,关于$x$,$y的方程m - 2y + mx + 4 = 0$总有一个固定的解,请求出这个解.

答案：
(1)
首先由$x + y = 0$可得$y=-x$。
将$y = - x$代入$x + 2y-6 = 0$，得$x-2x - 6 = 0$，
即$-x=6$，解得$x=-6$。
把$x = - 6$代入$y=-x$，得$y = 6$。
将$\begin{cases}x=-6\\y = 6\end{cases}$代入$x - 2y+mx + 4 = 0$，
得$-6-2×6-6m + 4 = 0$，
$-6-12-6m + 4 = 0$，
$-14 - 6m=0$，
$6m=-14$，
解得$m=-\frac{7}{3}$。
(2)
将方程$m - 2y+mx + 4 = 0$变形为$m(x + 1)-(2y - 4)=0$。
因为无论实数$m$取何值，方程总有一个固定解，所以令$\begin{cases}x + 1 = 0\\2y-4 = 0\end{cases}$，
由$x + 1 = 0$得$x=-1$，
由$2y-4 = 0$得$y = 2$。
综上，
(1)中$m$的值为$-\frac{7}{3}$；
(2)中固定解为$\begin{cases}x=-1\\y = 2\end{cases}$。

$12. $阅读下面解方程组的方法$,$然后回答有关问题：解方程组$\begin{cases}19x + 18y = 17①,\\17x + 16y = 15②\end{cases} $时$,$如果直接消元$,$那将是很烦琐的$,$若采用下面的解法$,$则会简便许多$.$　　
解：$① - ②,$得$2x + 2y = 2,$即$x + y = 1③.$　　
$③×16,$得$16x + 16y = 16④.$　　
$② - ④,$得$x = - 1,$从而$y = 2.$　　
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2.\end{cases} $　　
请你采用上述方法解方程组$\begin{cases}2026x + 2025y = 2024,\\2024x + 2023y = 2022,\end{cases} $并猜想关于$x,y$的方程组的解是什么$？$利用方程组的解加以验证$.$　　

答案： 解方程组$\begin{cases}2026x + 2025y = 2024①,\\2024x + 2023y = 2022②\end{cases}$
1. ① - ②，得：
$(2026x - 2024x) + (2025y - 2023y) = 2024 - 2022$
$2x + 2y = 2$，化简为$x + y = 1$ ③.
2. ③×2023，得：$2023x + 2023y = 2023$ ④.
3. ② - ④，得：
$(2024x - 2023x) + (2023y - 2023y) = 2022 - 2023$
$x = -1$.
4. 将$x = -1$代入③，得$-1 + y = 1$，解得$y = 2$.
方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
猜想方程组$\begin{cases}(a + 2)x + (a + 1)y = a,\\(b + 2)x + (b + 1)y = b\end{cases}(a \ne b)$的解
猜想解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
验证
将$x = -1$，$y = 2$代入方程组：
1. 左边$=(a + 2)(-1) + (a + 1)(2) = -a - 2 + 2a + 2 = a=$右边；
2. 左边$=(b + 2)(-1) + (b + 1)(2) = -b - 2 + 2b + 2 = b=$右边.
故$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$是原方程组的解.
最终答案
方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$；猜想的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$.