《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

9. 如图,直线$y = ax + b与直线y = mx都经过点A(-1,2)$,则关于$x,y的方程组\begin{cases}ax - y + b = 0,\\mx - y = 0\end{cases} $的解是(D)

A.$\begin{cases}x = 1,\\y = -2\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = -1,\\y = -2\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases} $

答案： D

10. 如图,直线$y = kx(k \neq 0)与y = \frac{2}{3}x + 4在第二象限交于点A$,$y = \frac{2}{3}x + 4分别交x$轴、$y轴于B,C$两点. 若$S_{\triangle ABO}:S_{\triangle ACO} = 1:2$,则方程组$\begin{cases}kx - y = 0,\\2x - 3y + 12 = 0\end{cases} $的解为$\begin{cases} x=-4 \\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases}$。

答案： $\begin{cases} x=-4 \\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases}$

11. 已知一次函数$y = -\frac{b}{4}x - 4和y = 2ax + 4a + b$.
(1) 当$a,b$为何值时,两函数的图象重合？
(2) 如果两直线相交于点$(-1,3)$,求$a,b$的值。

答案：
(1)
两个一次函数图象重合，则对应的一次项系数和常数项分别相等，即：
$\begin{cases}-\frac{b}{4}=2a\\-4 = 4a + b\end{cases}$
由$-\frac{b}{4}=2a$可得$b=-8a$，将其代入$-4 = 4a + b$中，得：
$-4=4a-8a$
$-4=-4a$
$a = 1$
把$a = 1$代入$b=-8a$，得$b=-8$。
所以当$a = 1$，$b=-8$时，两函数的图象重合。
(2)
因为两直线相交于点$(-1,3)$，所以点$(-1,3)$满足两个一次函数方程，将其分别代入两个函数可得：
$\begin{cases}3=-\frac{b}{4}×(-1)-4\\3=2a×(-1)+4a + b\end{cases}$
即$\begin{cases}\frac{b}{4}-4 = 3\\-2a+4a + b=3\end{cases}$
由$\frac{b}{4}-4 = 3$，可得$\frac{b}{4}=7$，解得$b = 28$。
把$b = 28$代入$-2a+4a + b=3$中，得$2a+28=3$，$2a=-25$，解得$a=-\frac{25}{2}$。
综上，
(1)中$a = 1$，$b=-8$；
(2)中$a=-\frac{25}{2}$，$b = 28$。

12. 如图,直线$l_1:y = x + 1与直线l_2:y = mx + n相交于点P(1,b)$.
(1) 求$b$的值.
(2) 不解关于$x,y$的方程组,请你直接写出$\begin{cases}y = x + 1,\\y = mx + n\end{cases} $的解.
(3) 直线$l_3:y = nx + m是否也经过点P$？请说明理由.

答案：
(1)把$P(1,b)$代入$y = x + 1$，得$b = 1 + 1=2$。
(2)因为两直线相交于点$P(1,2)$，所以方程组$\begin{cases}y = x + 1\\y = mx + n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
(3)把$P(1,2)$代入$y = nx + m$，得$2=n + m$。
由$y = x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,2)$，把$x = 1,y = 2$代入$y = mx + n$得$2=m + n$，所以直线$y = nx + m$经过点$P$。

13. 如图,已知一次函数$y_1 = x + 2的图象与y轴交于点A$,一次函数$y_2 = kx + b的图象经过点B(0,4)$,与$x轴交于点C$,与$y_1 = x + 2的图象交于点D$,且点$D的坐标为(\frac{2}{3},n)$.
(1) 求$k和b$的值；
(2) 若$y_1 ＞ y_2$,则$x$的取值范围是______；
(3) 求四边形$AOCD$的面积.

(1) k=-2，b=4；(2) x＞2/3；(3) 10/3。

答案：
(1) 点D在y₁=x+2上，将x=2/3代入得n=2/3+2=8/3，
∴D(2/3,8/3)。
y₂=kx+b过B(0,4)，则b=4。将D(2/3,8/3)代入y₂=kx+4得8/3=k·2/3+4，解得k=-2。
∴k=-2，b=4。
(2) 由y₁＞y₂得x+2 ＞ -2x+4，解得3x＞2，x＞2/3。
(3) 点A为y₁与y轴交点，令x=0，y₁=2，
∴A(0,2)；点C为y₂与x轴交点，令y₂=0，-2x+4=0，x=2，
∴C(2,0)。
四边形AOCD面积=S△AOD+S△OCD。
S△AOD：以AO=2为底，D横坐标2/3为高，面积=1/2×2×2/3=2/3。
S△OCD：以OC=2为底，D纵坐标8/3为高，面积=1/2×2×8/3=8/3。
总面积=2/3+8/3=10/3。
(1) k=-2，b=4；
(2) x＞2/3；
(3) 10/3。