《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

13. (沈阳、大连部分学校模拟)如图,在平面直角坐标系中,点$A(6,m)$在第一象限. 若点$A关于x轴的对称点B在直线y = - x + 3$上,则$m$的值为3.

答案： $3$

14. 如图,一次函数$y = - \frac{4}{3}x + 8的图象与x$轴、$y轴交于A$,$B$两点,$P是x$轴正半轴上的一个动点,连接$BP$,将$\triangle OBP沿BP$翻折,点$O恰好落在AB$上,则点$P$的坐标为$(\frac{8}{3},0)$.

答案： $(\frac{8}{3},0)$

15. 如图,直线$y = - 3x + 3与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点.
(1)求$\triangle AOB$的面积；
(2)$\frac{2}{3}\leq x\lt\frac{5}{3}$当$- 2 ＜ y \leq 1$时,自变量$x$的取值范围是______(直接写出结果)；
(3)在坐标轴上有一点$C$,已知$\triangle ABC的面积等于10$,求点$C$的坐标.

答案：
(1)
对于直线$y = - 3x + 3$，
当$x = 0$时，$y = 3$，所以$B(0,3)$；
当$y = 0$时，$-3x + 3 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$。
则$OA = 1$，$OB = 3$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
(2)
当$y = - 2$时，$-3x + 3 = - 2$，
$-3x=-2 - 3$，
$-3x=-5$，
解得$x=\frac{5}{3}$；
当$y = 1$时，$-3x + 3 = 1$，
$-3x=1 - 3$，
$-3x=-2$，
解得$x=\frac{2}{3}$。
因为$y = - 3x + 3$中$y$随$x$的增大而减小，
所以当$- 2\lt y\leq1$时，自变量$x$的取值范围是$\frac{2}{3}\leq x\lt\frac{5}{3}$。
(3)
设$C(m,0)$或$(0,n)$。
①当$C$点在$x$轴上时，$C(m,0)$，
已知$A(1,0)$，则$AC=\vert m - 1\vert$，$B(0,3)$，
根据三角形面积公式${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× OB$，
可得$\frac{1}{2}×\vert m - 1\vert×3 = 10$，
$\vert m - 1\vert=\frac{20}{3}$，
$m - 1=\frac{20}{3}$或$m - 1=-\frac{20}{3}$，
解得$m=\frac{23}{3}$或$m=-\frac{17}{3}$，
所以$C(\frac{23}{3},0)$或$(-\frac{17}{3},0)$。
②当$C$点在$y$轴上时，$C(0,n)$，
已知$B(0,3)$，则$BC=\vert n - 3\vert$，$A(1,0)$，
根据三角形面积公式${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× OA$，
可得$\frac{1}{2}×\vert n - 3\vert×1 = 10$，
$\vert n - 3\vert = 20$，
$n - 3 = 20$或$n - 3=-20$，
解得$n = 23$或$n=-17$，
所以$C(0,23)$或$(0,-17)$。
综上，点$C$的坐标为$(\frac{23}{3},0)$或$(-\frac{17}{3},0)$或$(0,23)$或$(0,-17)$。

16. (新考法·新定义阅读)定义：图象与$x轴有两个交点的函数y = \begin{cases} - 2x + 4(x \geq m), \\ 2x + 4(x ＜ m) \end{cases} 叫作关于直线x = m$的对称函数,它与$x轴负半轴的交点记为A$,与$x轴正半轴的交点记为B$. 如图,已知直线$l:x = 1$,关于直线$l的对称函数y = \begin{cases} - 2x + 4(x \geq 1), \\ 2x + 4(x ＜ 1) \end{cases} 与直线l交于点C(1,2)$.
(1)写出点的坐标：$A$$(-2,0)$,$B$$(2,0)$；
(2)$P为关于直线l$的对称函数图象上一点(点$P不与点C$重合),当$S_{\triangle ABP} = \frac{3}{2}S_{\triangle ABC}$时,求点$P$的坐标.

点$P$的坐标为$(-\frac{1}{2},3)$或$(-\frac{7}{2}, - 3)$或$(\frac{7}{2},-3)$。

答案：
(1)
对于$y = 2x + 4$，令$y = 0$，则$2x+4 = 0$，解得$x=-2$，所以$A(-2,0)$；
对于$y=-2x + 4$，令$y = 0$，则$-2x + 4=0$，解得$x = 2$，所以$B(2,0)$。
(2)
已知$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(1,2)$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×(2 + 2)×2=4$。
因为$S_{\triangle ABP}=\frac{3}{2}S_{\triangle ABC}$，所以$S_{\triangle ABP}=\frac{3}{2}×4 = 6$。
又因为$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AB×|y_{P}|$，$AB=2-( - 2)=4$，则$\frac{1}{2}×4×|y_{P}|=6$，解得$|y_{P}| = 3$，即$y_{P}=\pm3$。
当$x\lt1$时，$y = 2x+4$，令$2x + 4=3$，则$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$；令$2x + 4=-3$，则$2x=-7$，解得$x=-\frac{7}{2}$。
当$x\geq1$时，$y=-2x + 4$，令$-2x + 4=3$，则$-2x=-1$，解得$x=\frac{1}{2}$（舍去，因为$\frac{1}{2}\lt1$）；令$-2x + 4=-3$，则$-2x=-7$，解得$x=\frac{7}{2}$。
所以点$P$的坐标为$(-\frac{1}{2},3)$或$(-\frac{7}{2}, - 3)$或$(\frac{7}{2},-3)$。
综上，答案依次为：
(1)$(-2,0)$；$(2,0)$；
(2)$(-\frac{1}{2},3)$或$(-\frac{7}{2}, - 3)$或$(\frac{7}{2},-3)$。