《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD为AB$边上的高. 若$AC = 6$,$BC = 8$,求$CD$的长.

答案： 在$Rt \triangle ABC$中，由勾股定理，
得$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$，
因为$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD$，
所以$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 × 8}{10} = 4.8$。
故$CD$的长为$4.8$。

13. 在$\triangle ABC$中,$AB = 20$,$AC = 15$,$BC边上的高等于12$,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 设$BC$边上的高为$AD$，$AD = 12$。
在直角三角形$ABD$中，由勾股定理，有：
$BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$，
在直角三角形$ACD$中，由勾股定理，有
$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$，
当$\angle ACB$为锐角时：
$BC = BD + CD = 16 + 9 = 25$，
此时，$\triangle ABC$的周长为：
$AB + AC + BC = 20 + 15 + 25 = 60$；
当$\angle ACB$为钝角时：
$BC = BD - CD = 16 - 9 = 7$，
此时，$\triangle ABC$的周长为：
$AB + AC + BC = 20 + 15 + 7 = 42$。
综上所述，$\triangle ABC$的周长为$60$或$42$。

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$BC = 6$,若点$P从点A$出发,以每秒$1个单位长度的速度向点C$运动,设运动时间为$t$秒($t ＞ 0$). 当$PA = PB$时,求此时$t$的值；

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$AC^{2}=10^{2}-6^{2}=64$，$\therefore AC=8$。
点$P$从点$A$出发，速度为每秒$1$个单位长度，运动时间为$t$秒，$\therefore AP=t$，则$PC=AC-AP=8-t$。
当$PA=PB$时，$PB=t$。在$Rt\triangle PCB$中，$PC=8-t$，$BC=6$，由勾股定理得：$PB^{2}=PC^{2}+BC^{2}$，即$t^{2}=(8-t)^{2}+6^{2}$。
展开得：$t^{2}=64-16t+t^{2}+36$，化简得：$0=-16t+100$，解得$t=\frac{25}{4}$。
$\therefore t$的值为$\frac{25}{4}$。

15. (新考法・新定义阅读)定义：在$\triangle ABC$中,若$BC = a$,$AC = b$,$AB = c$,$a$,$b$,$c满足ac + a^{2}= b^{2}$,则称这个三角形是“类勾股三角形”. 请根据以上定义解决下列问题：
(1)是 已知$\triangle ABC的三边长分别是4$,$5$,$6$,则$\triangle ABC$______“类勾股三角形”.(填“是”或“不是”)
(2) 如图$2$,在$\triangle ABC$中,$BC = a$,$AC = b$,$AB = c$,$\angle B = 2\angle A$,且$\angle C ＞ \angle A$,试说明：$\triangle ABC$是“类勾股三角形”. 志明同学想到可以在$AB上找一点D$,使得$AD = CD$,再作$CE\perp BD$,请你帮助志明完成解答过程.

答案：
(1) 是
(2) 设∠A=x，则∠B=2x，∠C=180°-3x。
在AB上取点D，使AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x，∠CDB=∠A+∠ACD=2x=∠B，
∴CD=CB=a，即AD=CD=a，
∴DB=AB-AD=c-a。
作CE⊥BD，垂足为E，
∵CD=CB，
∴E为BD中点，DE=EB=(c-a)/2。
AE=AD+DE=a+(c-a)/2=(a+c)/2。
在Rt△CEB中：CE²=a²-[(c-a)/2]²；在Rt△CEA中：CE²=b²-[(a+c)/2]²。
∴a²-[(c-a)/2]²=b²-[(a+c)/2]²，
化简得：a² + ac = b²，即△ABC是“类勾股三角形”。