《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

17. (8分)在平面直角坐标系中,
(1)若点$M(m-6,2m+3)$到两坐标轴的距离相等,求点$M$的坐标；
(2)若点$M(m-6,2m+3)$,点$N(5,2)$,且$MN// y$轴,求点$M$的坐标；
(3)若点$M(a,b)$,点$N(5,2)$,且$MN// x$轴,$MN= 3$,求点$M$的坐标.

答案：
(1)
点$M(m - 6,2m + 3)$到$x$轴距离为$\vert 2m + 3\vert$，到$y$轴距离为$\vert m - 6\vert$。
由点$M$到两坐标轴距离相等可得$\vert m - 6\vert=\vert 2m + 3\vert$。
则$m - 6 = 2m + 3$或$m - 6 = -(2m + 3)$。
当$m - 6 = 2m + 3$时，$m=-9$，此时$m - 6=-15$，$2m + 3=-15$，$M(-15,-15)$。
当$m - 6 = -(2m + 3)$时，$m - 6=-2m - 3$，$3m = 3$，$m = 1$，此时$m - 6=-5$，$2m + 3 = 5$，$M(-5,5)$。
所以$M$的坐标为$(-15,-15)$或$(-5,5)$。
(2)
因为$MN// y$轴，所以$m - 6 = 5$，解得$m = 11$。
则$2m + 3=2×11 + 3 = 25$，所以$M(5,25)$。
(3)
因为$MN// x$轴，所以$b = 2$，即点$M$的纵坐标为$2$。
又因为$MN = 3$，点$N(5,2)$，所以$\vert a - 5\vert=3$。
则$a - 5 = 3$或$a - 5=-3$。
当$a - 5 = 3$时，$a = 8$；当$a - 5=-3$时，$a = 2$。
所以$M(2,2)$或$M(8,2)$。

18. (9分)如图,在平面直角坐标系中,$A(0,3)$,$B(-2,1)$,$C(3,2)$.
(1)在图中作出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A'B'C'$；
(2)点$C'$的坐标为(-3,2),$\triangle A'B'C'$的面积为4；
(3)在$x轴上找到一点P$,使得$PA+PB$的值最小.(不写作法,保留作图痕迹)

(1) 作图略（分别作出A(0,3)、B(-2,1)、C(3,2)关于y轴对称的点A'(0,3)、B'(2,1)、C'(-3,2)，顺次连接A'、B'、C'）。
(3) 作图痕迹：作点A关于x轴的对称点A''(0,-3)，连接A''B交x轴于点P（或作点B关于x轴的对称点B''(-2,-1)，连接AB''交x轴于点P），点P即为所求。

答案：
(1) 作图略（分别作出A(0,3)、B(-2,1)、C(3,2)关于y轴对称的点A'(0,3)、B'(2,1)、C'(-3,2)，顺次连接A'、B'、C'）。
(2) (-3,2)；4
(3) 作图痕迹：作点A关于x轴的对称点A''(0,-3)，连接A''B交x轴于点P（或作点B关于x轴的对称点B''(-2,-1)，连接AB''交x轴于点P），点P即为所求。

19. (8分)有一段关于古代藏宝图的记载(如图)：“从赤石向一棵杉树笔直走去,恰好在其连线中点处向右转$90^{\circ}$前进,到达唐伽山山脚的一个洞穴,宝物就在洞穴中.”若赤石标记为点$A$,杉树标记为点$B$,洞穴标记为点$C$.
(1)根据这段记载,应用数学知识描述点$C与线段AB$间的位置表达；
(2)若在藏宝图上建立适当的平面直角坐标系,点$A$,$B的坐标分别为(3,1)$,$(3,7)$,点$C到线段AB$的距离为4个单位长度,求出洞穴到赤石的距离.

答案： （1）点$C$位于线段$AB$的垂直平分线上，且位于线段$AB$右侧$90^{\circ}$方向（即$AB$的中点$M$处作$CM\perp AB$，且$AC=BC$）。
（2）由题意知$A(3,1)$，$B(3,7)$，
则$AB$平行于$y$轴，$AB$的长度为$|7 - 1| = 6$，
$AB$中点$M$的坐标为$(3,4)$。
因为点$C$到线段$AB$的距离为$4$个单位长度，且$C$在$AB$右侧，
所以点$C$的横坐标为$3 + 4 = 7$，纵坐标与$M$相同为$4$，即$C(7,4)$。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，
$AC=\sqrt{(7 - 3)^2+(4 - 1)^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
故洞穴到赤石的距离为$5$个单位长度。