《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

22. (12 分)如图 1,某高速路有一段区间测速,限速 100km/h. 现有一辆汽车 QB 经过测速区,以测速区起始线为 y 轴,以高速路路边的围栏为 x 轴,建立平面直角坐标系如图 2,AC 为区间测速汽车行驶的笔直路线($AC // x$轴),$AC = 30km$.
(1)该汽车通过测速区间的时间为 18min(车身长忽略不计),该汽车行驶的平均速度为100km/h,是否超速？否(填“是”或“否”).
(2)在测速区起始线且距车头 10m 的点 O 处有一个固定激光测速仪,激光射线 OP 与 AC 交于点$P(400, 10)$；在点$M(500, 0)$处设置可转动的另一台测速仪,射出的激光线 MQ 追踪汽车头点 Q,当车头 Q 刚好在测速区起始线时.
①求射线 OP 所在直线的函数表达式；
②求射线 MQ、射线 OP 的交点坐标.
(3)在(1)的条件下,若车头 Q 刚好在测速区起始线时开始计时,请直接写出激光射线 MQ 与射线 OP 有交点的时长.

(2)①射线OP所在直线的函数表达式为$y = \frac{1}{40}x$。②射线MQ、射线OP的交点坐标为$(\frac{2000}{9}, \frac{50}{9})$。(3)激光射线MQ与射线OP有交点的时长为$\frac{6}{25}$分钟。

答案：
(1) 18分钟=0.3小时，平均速度=30÷0.3=100km/h，等于限速，不超速。答案：100；否。
(2)①射线OP过O(0,0)和P(400,10)，设y=kx，代入P得10=400k，k=1/40，表达式为y=(1/40)x。
②当Q在起始线时，Q(0,10)，MQ过M(500,0)和Q(0,10)，设y=k'x+b，代入得：0=500k'+b，10=b，解得k'=-1/50，b=10，故MQ：y=-1/50x+10。联立OP：y=(1/40)x，解得x=2000/9，y=50/9，交点坐标(2000/9,50/9)。
(3)Q从x=0到x=400米时两射线有交点，速度v=100km/h=5000/3米/分钟，时间t=400÷(5000/3)=6/25分钟。
答案：
(1)100；否；
(2)①y=(1/40)x；②(2000/9,50/9)；
(3)6/25分钟。

23. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1的表达式为y = -x$,直线$l_2与l_1交于点A(a, -a)$,与 y 轴交于点$B(0, b)$,其中 a,b 满足$(a + 2)^2 + \sqrt{b - 3} = 0$.
(1)求直线$l_2$的函数表达式；
(2)若直线 AB 上有一点 P,使得$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{3}S_{\triangle AOB}$,求点 P 的坐标；
(3)已知平行于 y 轴且位于 y 轴左侧有一动直线,分别与$l_1$,$l_2$交于点 M,N,且点 M 在点 N 的下方,点 Q 为 y 轴上一动点,且$\triangle MNQ$为等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点 Q 的坐标.

答案：
(1) 由$(a + 2)^2 + \sqrt{b - 3} = 0$，得$a + 2 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = -2$，$b = 3$。
∴点$A(-2, 2)$，$B(0, 3)$。设直线$l_2$的表达式为$y = kx + c$，将$A(-2, 2)$，$B(0, 3)$代入，得$\begin{cases} -2k + c = 2 \\ c = 3 \end{cases}$，解得$k = \frac{1}{2}$，$c = 3$。
∴直线$l_2$的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 3$。
(2) $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × OB × |x_A| = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$，则$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{3} × 3 = 1$。
设$P(t, \frac{1}{2}t + 3)$，由$S_{\triangle AOP} = |t + (\frac{1}{2}t + 3)| = 1$，得$|\frac{3}{2}t + 3| = 1$。
解得$\frac{3}{2}t + 3 = 1$或$\frac{3}{2}t + 3 = -1$，即$t = -\frac{4}{3}$或$t = -\frac{8}{3}$。
∴$P(-\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$或$P(-\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$。
(3) 设动直线为$x = k(-2 ＜ k ＜ 0)$，则$M(k, -k)$，$N(k, \frac{1}{2}k + 3)$，$MN = \frac{3}{2}(k + 2)$。
分三种情况：
直角在$M$：$Q(0, -k)$，$-k = \frac{3}{2}(k + 2)$，解得$k = -\frac{6}{5}$，$Q(0, \frac{6}{5})$；
直角在$N$：$Q(0, \frac{1}{2}k + 3)$，$-k = \frac{3}{2}(k + 2)$，解得$k = -\frac{6}{5}$，$Q(0, \frac{12}{5})$；
直角在$Q$：$q = -\frac{1}{4}k + \frac{3}{2}$，$k^2 - \frac{9}{16}(k + 2)^2 = 0$，解得$k = -\frac{6}{7}$，$Q(0, \frac{12}{7})$。
∴$Q(0, \frac{6}{5})$或$(0, \frac{12}{5})$或$(0, \frac{12}{7})$。
答案
(1) $y = \frac{1}{2}x + 3$；
(2) $(-\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$或$(-\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$；
(3) $(0, \frac{6}{5})$，$(0, \frac{12}{5})$，$(0, \frac{12}{7})$。