《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

8. 如图,某小区有一块长方形空地$ABCD$,长方形空地的长$BC为\sqrt{72}m$,宽$AB为\sqrt{32}m$,现要在空地中间修建一个小长方形花坛(阴影部分),小长方形花坛的长为$(\sqrt{10}+1)m$,宽为$(\sqrt{10}-1)m$。
(1)求长方形空地$ABCD$的周长。(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方,其他空地全修建成通道,通道上要铺造价为$6元/m^{2}$的地砖,要铺完整个通道,购买地砖需要花费多少元？

答案：
(1)长方形空地$ABCD$的长$BC = \sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}m$，宽$AB=\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}m$。
根据长方形周长公式$C = 2(AB + BC)$，可得：
$C = 2(4\sqrt{2}+6\sqrt{2})=2×10\sqrt{2}=20\sqrt{2}m$。
(2)长方形空地$ABCD$的面积$S_{长方形ABCD}=AB× BC = 4\sqrt{2}×6\sqrt{2}=4×6×2 = 48m^{2}$。
小长方形花坛的面积$S_{花坛}=(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = \sqrt{10}$，$b = 1$，则$S_{花坛}=(\sqrt{10})^{2}-1^{2}=10 - 1 = 9m^{2}$。
通道的面积$S = S_{长方形ABCD}-S_{花坛}=48 - 9 = 39m^{2}$。
已知地砖造价为$6$元$/m^{2}$，则购买地砖需要花费$39×6 = 234$元。
综上，答案依次为：
(1)$20\sqrt{2}m$；
(2)$234$元。

9. 在数学小组探究学习中,小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知$a= \dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^{2}-8a + 1$的值。
他们是这样解答的：
因为$a= \dfrac{1}{2+\sqrt{3}}= \dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$,
所以$a - 2= -\sqrt{3}$,
所以$(a - 2)^{2}= 3$,即$a^{2}-4a + 4= 3$,
所以$a^{2}-4a= -1$,
所以$2a^{2}-8a + 1= 2(a^{2}-4a)+1= 2×(-1)+1= -1$。
请你根据小华小组的解题方法和过程,解决以下问题：
(1)$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}= $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
(2)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{119}}+\dfrac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{120}}$；
(3)若$a= \dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$,求$-8a^{2}+32a + 4$的值。

答案：
(1)
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(2)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{119}}+\dfrac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{120}}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{120}-\sqrt{119}+\sqrt{121}-\sqrt{120}$
$=11 - 1=10$
(3)
因为$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，
所以$a - 2=\sqrt{5}$，
$(a - 2)^{2}=5$，即$a^{2}-4a + 4 = 5$，
$a^{2}-4a=1$，
$-8a^{2}+32a + 4=-8(a^{2}-4a)+4=-8×1 + 4=-4$。