《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

11. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过 $ A(3,6) $,$ B(0,3) $ 两点,交 $ x $ 轴于点 $ C $,则 $ \triangle AOC $ 的面积为9.

答案： 9

12. 某公司市场营销部的销售员的个人月收入 $ y $(单位：元)与每月的销售量 $ x $(单位：件)成一次函数关系. 当销售员的月销售量为 $ 0 $ 件时,销售员的个人月收入为 $ 1800 $ 元；当销售员的月销售量为 $ 50 $ 件时,销售员的个人月收入为 $ 2300 $ 元.
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2) 当月销售量为 $ 400 $ 件时,求销售员的个人月收入.

答案：
(1) 设 $y = kx + b$（其中 $k \neq 0$）。
根据题意，当 $x = 0$ 时，$y = 1800$，代入得：
$b = 1800$，
当 $x = 50$ 时，$y = 2300$，代入得：
$50k + b = 2300$，
将 $b = 1800$ 代入上式得：
$50k = 500$，
从中解得：
$k = 10$，
因此，$y$ 与 $x$ 之间的关系式为：
$y = 10x + 1800$。
(2) 将 $x = 400$ 代入 $y = 10x + 1800$ 得：
$y = 10 × 400 + 1800 = 5800$，
所以，当月销售量为 $400$ 件时，销售员的个人月收入为 $5800$ 元。

13. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(2,m) $ 在直线 $ y = 2x - \frac{5}{2} $ 上,过点 $ A $ 的直线交 $ y $ 轴于点 $ B(0,3) $.
(1) 求 $ m $ 的值和直线 $ AB $ 的函数表达式；
(2) 若点 $ P(t,y_1) $ 在线段 $ AB $ 上,点 $ Q(t - 1,y_2) $ 在直线 $ y = 2x - \frac{5}{2} $ 上,求 $ y_1 - y_2 $ 的最大值.

答案：
(1)
∵点$A(2,m)$在直线$y = 2x-\frac{5}{2}$上，
把$x = 2$代入$y = 2x-\frac{5}{2}$得：
$m=2×2-\frac{5}{2}=4 - \frac{5}{2}=\frac{3}{2}$
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx + b$，
把$A(2,\frac{3}{2})$，$B(0,3)$代入$y=kx + b$得：
$\begin{cases}2k + b=\frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$
把$b = 3$代入$2k + b=\frac{3}{2}$得：
$2k+3=\frac{3}{2}$
$2k=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}$
$k=-\frac{3}{4}$
所以直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x + 3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段$AB$上，
∴$y_1=-\frac{3}{4}t + 3$，
∵点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x-\frac{5}{2}$上，
∴$y_2=2(t - 1)-\frac{5}{2}=2t-2-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$
则$y_1 - y_2=-\frac{3}{4}t + 3-(2t-\frac{9}{2})$
$=-\frac{3}{4}t + 3 - 2t+\frac{9}{2}$
$=(-\frac{3}{4}-2)t+(3+\frac{9}{2})$
$=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$
因为点$P(t,y_1)$在线段$AB$上，$0\leqslant t\leqslant2$，
对于一次函数$y=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$，其中$k =-\frac{11}{4}\lt0$，$y$随$x$的增大而减小，
所以当$t = 0$时，$y_1 - y_2$有最大值，最大值为$\frac{15}{2}$。
综上，答案为：
(1)$m=\frac{3}{2}$，$y =-\frac{3}{4}x + 3$；
(2)$\frac{15}{2}$。

14. 如图,直线 $ y = \frac{4}{3}x + 4 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,设 $ M $ 是线段 $ OB $ 上一点,若将 $ \triangle ABM $ 沿 $ AM $ 折叠,使点 $ B $ 恰好落在 $ x $ 轴上的点 $ B' $ 处. 求：
(1) 点 $ B' $ 的坐标；
(2) 直线 $ AM $ 所对应的函数表达式.

答案：
(1) 对于直线 $ y = \frac{4}{3}x + 4 $，令 $ y = 0 $，得 $ 0 = \frac{4}{3}x + 4 $，解得 $ x = -3 $，则 $ A(-3, 0) $；令 $ x = 0 $，得 $ y = 4 $，则 $ B(0, 4) $。
$ AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $。
由折叠性质知 $ AB' = AB = 5 $。设 $ B'(x, 0) $，则 $ |x - (-3)| = 5 $，即 $ |x + 3| = 5 $，解得 $ x = 2 $ 或 $ x = -8 $。
因 $ M $ 在线段 $ OB $ 上，$ B' $ 在 $ x $ 轴正半轴，故 $ B'(2, 0) $。
(2) 设 $ M(0, m) $，$ 0 \leq m \leq 4 $。由折叠性质得 $ BM = B'M $。
$ BM = 4 - m $，$ B'M = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - m)^2} = \sqrt{4 + m^2} $。
则 $ 4 - m = \sqrt{4 + m^2} $，两边平方得 $ 16 - 8m + m^2 = 4 + m^2 $，解得 $ m = \frac{3}{2} $，即 $ M(0, \frac{3}{2}) $。
设直线 $ AM $ 的表达式为 $ y = kx + b $，将 $ A(-3, 0) $，$ M(0, \frac{3}{2}) $ 代入：
$ b = \frac{3}{2} $，$ 0 = -3k + \frac{3}{2} $，解得 $ k = \frac{1}{2} $。
故直线 $ AM $ 的表达式为 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $。
(1) $ (2, 0) $
(2) $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $

15. 如图,直线 $ l_1 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,且 $ OB = 2 $,与过原点的直线 $ l_2 $ 交于点 $ P(2,1) $.
(1) 求直线 $ l_1 $ 和直线 $ l_2 $ 的函数表达式；
(2) 点 $ D $ 为直线 $ l_1 $ 上一点,其横坐标为 $ m(m ＜ 2) $,过点 $ D $ 作 $ DF \perp x $ 轴于点 $ F $,与直线 $ l_2 $ 交于点 $ E $,且 $ DF = 2EF $,求点 $ D $ 的坐标.

答案：
(1)设$l_1$的表达式为$y = k_1x + b(k_1\neq0)$，
因为$P(2,1)$在$l_1$上，且$OB = 2$，$B(0,2)$，
把$B(0,2)$，$P(2,1)$代入$y = k_1x + b$得$\begin{cases}b = 2\\2k_1 + b = 1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_1=-\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$，
所以$l_1$的表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$。
设$l_2$的表达式为$y = k_2x(k_2\neq0)$，
把$P(2,1)$代入$y = k_2x$得$1 = 2k_2$，$k_2=\frac{1}{2}$，
所以$l_2$的表达式为$y=\frac{1}{2}x$。
(2)因为点$D$在直线$l_1$上，其横坐标为$m(m\lt2)$，
把$x = m$代入$y = -\frac{1}{2}x + 2$得$y_D=-\frac{1}{2}m + 2$。
因为$DF\perp x$轴于点$F$，与直线$l_2$交于点$E$，
把$x = m$代入$y=\frac{1}{2}x$得$y_E=\frac{1}{2}m$。
又因为$DF = 2EF$，
$DF=\vert-\frac{1}{2}m + 2\vert$，$EF=\vert\frac{1}{2}m\vert$，
由于$m\lt2$，$DF=-\frac{1}{2}m + 2$，
则$-\frac{1}{2}m + 2 = 2×\vert\frac{1}{2}m\vert$，
当$m\geqslant0$时，$-\frac{1}{2}m + 2 = 2×\frac{1}{2}m$，
$-\frac{1}{2}m+2 = m$，
$\frac{3}{2}m = 2$，
$m=\frac{4}{3}$。
当$m\lt0$时，$-\frac{1}{2}m + 2 = 2×(-\frac{1}{2}m)$，
$-\frac{1}{2}m+2=-m$，
$\frac{1}{2}m=-2$，
$m = - 4$。
当$m=\frac{4}{3}$时，$y_D=-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}+2=\frac{4}{3}$；
当$m = - 4$时，$y_D=-\frac{1}{2}×(-4)+2=4$。
所以点$D$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$或$(-4,4)$。
故答案为：
(1)$l_1$：$y = -\frac{1}{2}x + 2$；$l_2$：$y=\frac{1}{2}x$；
(2)$(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$或$(-4,4)$。