《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册北师大版》

22. (12分)(新考法·学科内综合)在平面直角坐标系中,已知两点坐标$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$,则其两点间距离公式为$P_1P_2= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. 例如：点$(3,2)和(4,0)的距离为\sqrt{(3-4)^2+(2-0)^2}= \sqrt{5}$. 同时,当两点所在的直线在坐标轴上或平行于$x轴或平行于y$轴时,点$P_1$,$P_2$间距离公式可简化成：$P_1P_2= |x_1-x_2|或P_1P_2= |y_1-y_2|$.
(1)已知$A$,$B在平行于y$轴的直线上,点$A$的纵坐标为5,点$B$的纵坐标为2,则$A$,$B$两点间的距离为3；
(2)线段$AB平行于x$轴,且$AB= 3$,若点$B的坐标为(2,4)$,则点$A$的坐标是(5, 4) 或 (-1, 4)；
(3)已知$A(3,5)$,$B(-4,4)$,$A$,$B$两点间的距离为$5\sqrt{2}$；
(4)已知$\triangle ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)$,$B(0,5)$,$C(-1,2)$,请判断此三角形的形状,并说明理由.
等腰直角三角形，理由：AB = BC = $\sqrt{10}$，$AB^2 + BC^2 = AC^2$。

答案：
(1) 因为 A，B 在平行于 y 轴的直线上，所以两点间距离为纵坐标差的绝对值，即 |5 - 2| = 3。
(2) 线段 AB 平行于 x 轴，所以 A 与 B 纵坐标相同，设 A 点坐标为 (x, 4)。AB = 3，即 |x - 2| = 3，解得 x = 2 + 3 = 5 或 x = 2 - 3 = -1，所以 A 的坐标是 (5, 4) 或 (-1, 4)。
(3) 根据两点间距离公式，A(3,5)，B(-4,4)，距离为 $\sqrt{(3 - (-4))^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
(4) 计算三角形三边长度：
AB：$\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
AC：$\sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
BC：$\sqrt{(0 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
因为 AB = BC = $\sqrt{10}$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。又因为 $AB^2 + BC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20$，$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，即 $AB^2 + BC^2 = AC^2$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形。
(1) 3
(2) (5, 4) 或 (-1, 4)
(3) $5\sqrt{2}$
(4) 等腰直角三角形，理由：AB = BC = $\sqrt{10}$，$AB^2 + BC^2 = AC^2$。

23. (12分)如图,四边形$OABC$为长方形,以$O$为坐标原点,$OC所在直线为x$轴建立平面直角坐标系,已知点$A的坐标为(0,6)$,点$C的坐标为(8,0)$.
(1)直接写出点$B$的坐标为______(8,6)______.
(2)有一动点$D从原点O$出发,以1个单位长度/秒的速度沿线段$OA向终点A$运动. 当直线$CD将长方形OABC的周长分为3:4$两部分时,求点$D的运动时间t$的值.
(3)在(2)的条件下,点$E$为坐标轴上一点,若$\triangle CDE$的面积是24,求点$E$的坐标.

(2) 长方形OABC周长为2×(6+8)=28，分为3:4两部分，长度分别为12和16。
点D坐标为(0,t)，0≤t≤6。
路径1：D→O→C，长度为t+8；路径2：D→A→B→C，长度为(6-t)+8+6=20-t。
当t+8=12时，t=4；当t+8=16时，t=8(舍去)。
故t=4。
(3) D(0,4)，C(8,0)。
① E在x轴上，设E(x,0)，S△CDE=1/2×|x-8|×4=24，|x-8|=12，x=20或x=-4，E(20,0)或(-4,0)。
② E在y轴上，设E(0,y)，S△CDE=1/2×|y-4|×8=24，|y-4|=6，y=10或y=-2，E(0,10)或(0,-2)。
综上，E(20,0),(-4,0),(0,10),(0,-2)。

答案：
(1) (8,6)
(2) 长方形OABC周长为2×(6+8)=28，分为3:4两部分，长度分别为12和16。
点D坐标为(0,t)，0≤t≤6。
路径1：D→O→C，长度为t+8；路径2：D→A→B→C，长度为(6-t)+8+6=20-t。
当t+8=12时，t=4；当t+8=16时，t=8(舍去)。
故t=4。
(3) D(0,4)，C(8,0)。
① E在x轴上，设E(x,0)，S△CDE=1/2×|x-8|×4=24，|x-8|=12，x=20或x=-4，E(20,0)或(-4,0)。
② E在y轴上，设E(0,y)，S△CDE=1/2×|y-4|×8=24，|y-4|=6，y=10或y=-2，E(0,10)或(0,-2)。
综上，E(20,0),(-4,0),(0,10),(0,-2)。