《2025年考点集训与满分备考七年级数学上册冀教版》

10. 新定义 规定：“*”为一种新运算,对任意的有理数 $ a, b $,有 $ a*b = \frac{a + 2b}{3} $,若 $ 6*x = \frac{2}{3} $,利用等式的基本性质将其化成“$ x = a $”的形式结果为x=-2。

答案： 10. x=-2 [解析]由题意知$6*x=\frac{2}{3}$可写成$\frac{6+2x}{3}=\frac{2}{3}$,两边都乘3,得$3×\frac{6+2x}{3}=3×\frac{2}{3}$,所以6+2x=2.两边都减6,得6+2x-6=2-6,所以2x=-4,两边都除以2,得$\frac{2x}{2}=\frac{-4}{2}$,所以x=-2.

11. 给出下列条件：① $ a + 2 = b + 2 $；② $ -3a = -3b $；③ $ -a - c = b + c $；④ $ ac - 1 = bc - 1 $；⑤ $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $,其中根据等式的基本性质可以推导出 $ a = b $ 的条件有①②⑤.(填序号即可)

答案： 11. ①②⑤ [解析]a+2=b+2,两边都减去2,得a+2-2=b+2-2,所以a=b,故①符合题意;-3a=-3b,两边都除以-3,得$\frac{-3a}{-3}=\frac{-3b}{-3}$,所以a=b,故②符合题意;-a-c=b+c,利用等式的基本性质不能得到a=b,故③不符合题意;ac-1=bc-1,两边都加1,得ac-1+1=bc-1+1,所以ac=bc,当c≠0时,两边都除以c可以得到a=b;当c=0时,不能得到a=b,故④不符合题意;$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,可以得出c≠0,两边都乘c,得$\frac{a}{c}×c=\frac{b}{c}×c$,所以a=b,故⑤符合题意.

12. 过程纠错 小周在学习等式与方程后,对方程 $ 5m - 2 = 3m - 2 $ 进行变形,得出“$ 5 = 3 $”的错误结论,但他找不到错误原因,你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：

(1)哪一步变形产生错误？
(2)请你分析产生错误的原因。

答案： 12. [解析]
(1)第二步变形产生错误;
(2)第二步产生错误的原因:方程两边都除以一个可能等于零的m,等式不成立.

13. 利用等式的基本性质,把下列方程化成 $ x = a $ 的形式：
(1) $ 5 + 3x = -1 $；
(2) $ 3x + 6 = 31 + 2x $；
(3) $ -\frac{1}{2}x = 0 $；
(4) $ \frac{2}{3}x = -1 $。

答案： 13. [解析]
(1)两边都减去5,得5+3x-5=-1-5,所以3x=-6,两边都除以3,得$\frac{3x}{3}=\frac{-6}{3}$,所以x=-2;
(2)两边都减去2x,得3x+6-2x=31+2x-2x,所以x+6=31,两边都减去6,得x+6-6=31-6,所以x=25;
(3)两边都乘-2,得$(-2)×(-\frac{1}{2}x)=(-2)×0$,所以x=0;
(4)两边都乘$\frac{3}{2}$,得$\frac{3}{2}×\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}×(-1)$,所以$x=-\frac{3}{2}$.

14. 整体代入法 已知当 $ x = -2 $ 时,代数式 $ ax^2 + bx + 1 $ 的值为6,利用等式的基本性质求代数式 $ -8a + 4b $ 的值。

答案： 14. [解析]当x=-2时,$ax^{2}+bx+1=4a-2b+1$,所以由题意,得4a-2b+1=6,两边都减去1,得4a-2b+1-1=6-1,所以4a-2b=5,所以-8a+4b=-2(4a-2b)=-2×5=-10.

15. 作差法 已知 $ 3b - 2a - 1 = 3a - 2b $,利用等式的基本性质试比较 $ a $ 与 $ b $ 的大小。

答案： 15. [解析]3b-2a-1=3a-2b,两边都减去3a-2b-1,得3b-2a-1-(3a-2b-1)=3a-2b-(3a-2b-1),所以5b-5a=1,两边都除以5,得$\frac{5b-5a}{5}=\frac{1}{5}$,所以$b-a=\frac{1}{5}＞0$,所以b＞a.

16. 跨学科·物理 在物理学中,导体中的电流 $ I $ 跟导体两端的电压 $ U $、导体的电阻 $ R $ 之间有以下关系：$ I = \frac{U}{R} $,去分母得 $ IR = U $,那么其变形的依据是(B)
A.等式的基本性质1
B.等式的基本性质2
C.分数的基本性质
D.以上都不对

答案： 16. B

17. 中考新考法 阅读理解 阅读下列材料：
问题：怎样将 $ 0.\dot{8} $ 表示成分数？
小明的探究过程如下：
设 $ x = 0.\dot{8} $①,$ 10x = 10 × 0.\dot{8} $②,$ 10x = 8.\dot{8} $③,$ 10x = 8 + 0.\dot{8} $④,$ 10x = 8 + x $⑤,$ 9x = 8 $⑥,$ x = \frac{8}{9} $⑦。
根据以上信息,回答下列问题：
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,结果仍是等式；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是等式的基本性质1:等式的两边减去同一个整式,结果仍是等式；
(2)仿照上述探究过程,请你将 $ 0.\dot{3}\dot{6} $ 表示成分数的形式。
设$x=0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36+x$,$99x=36$,$x=\frac{4}{11}$.

答案： 17. [解析]
(1)等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,结果仍是等式等式的基本性质1:等式的两边减去同一个整式,结果仍是等式
(2)设$x=0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36+x$,$99x=36$,$x=\frac{4}{11}$.