《2025年考点集训与满分备考七年级数学上册冀教版》

19. (8分)如图：已知直线AB,CD相交于点O,$∠COE= 90^{\circ}$。
(1)若$∠AOC= 32^{\circ}$,求$∠BOE$的度数；
(2)若$∠BOD:∠BOC= 2:7$,求$∠BOD$的度数。

答案： [解析]
(1)因为∠COE=90°，∠AOC=32°，所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−32°−90°=58°;
(2)因为∠BOD:∠BOC=2:7，∠BOD+∠BOC=180°，所以∠BOD=180°×$\frac{2}{2+7}$=40°.

20. (10分)点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使$∠BOC= 65^{\circ}$,将一直角三角板的直角顶点放在点O处。
(1)如图1,将三角板MON的一边ON与射线OB重合时,则$∠MOC=$25°；
(2)如图2,将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度,此时OC是$∠MOB$的平分线,求旋转角$∠BON和∠CON$的度数；
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时,$∠NOC= \frac{1}{4}∠AOM$,求$∠NOB$的度数。

(2)因为∠BOC=65°，OC是∠MOB的平分线，所以∠MOB=2∠BOC=130°，所以∠BON=∠MOB−∠MON=130°−90°=40°，所以∠CON=∠COB−∠BON=65°−40°=25°，即∠BON=40°，∠CON=25°;
(3)因为∠NOC=$\frac{1}{4}$∠AOM，所以∠AOM=4∠NOC.因为∠BOC=65°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−65°=115°.因为∠MON=90°，所以∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115°−90°=25°.所以4∠NOC+∠NOC=25°.所以∠NOC=5°.所以∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°.

答案： [解析]
(1)25°　提示:因为∠MON=90°，∠BOC=65°，所以∠MOC=∠MON−∠BOC=90°−65°=25°.
(2)因为∠BOC=65°，OC是∠MOB的平分线，所以∠MOB=2∠BOC=130°，所以∠BON=∠MOB−∠MON=130°−90°=40°，所以∠CON=∠COB−∠BON=65°−40°=25°，即∠BON=40°，∠CON=25°;
(3)因为∠NOC=$\frac{1}{4}$∠AOM，所以∠AOM=4∠NOC.因为∠BOC=65°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−65°=115°.因为∠MON=90°，所以∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON=115°−90°=25°.所以4∠NOC+∠NOC=25°.所以∠NOC=5°.所以∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°.

21. (10分)一题多解如图1,点O在直线AB上,过点O在直线同侧作两条射线OC,OD；OM,ON分别是$∠AOC$,$∠BOD$的平分线。
(1)若$∠COD= 110^{\circ}$,那么$∠MON$是多少度？
(2)若$∠COD= α$,请你猜想$∠MON$是多少度,并说明理由。
(3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系。如图2,已知线段AB= m,点C,D是线段AB上两点,线段CD= n,点M,N分别是线段AC,BD的中点,求MN的长。

答案： [解析]
(1)解法一:因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOD=$\frac{1}{2}$∠BOD.因为∠COD=110°，所以∠AOC+∠BOD=180°−110°=70°，所以∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=∠COD+$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD=∠COD+$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=110°+$\frac{1}{2}$×70°=145°.解法二:因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，所以∠MOA=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOD.因为∠COD=110°，所以∠AOC+∠BOD=180°−110°=70°，所以∠MON=180°−(∠MOA+∠NOB)=180°−($\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD)=180°−$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=180°−$\frac{1}{2}$×70°=145°;
(2)解法一:猜想:∠MON=$\frac{1}{2}$α+90°.理由:因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOD=$\frac{1}{2}$∠BOD.因为∠COD=α，所以∠AOC+∠BOD=180°−α，所以∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=∠COD+$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD=∠COD+$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=α+$\frac{1}{2}$×(180°−α)=$\frac{1}{2}$α+90°.解法二:猜想:∠MON=$\frac{1}{2}$α+90°.因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，所以∠MOA=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOD.因为∠COD=α，所以∠AOC+∠BOD=180°−α，所以∠MON=180°−(∠MOA+∠NOB)=180°−($\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD)=180°−$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=180°−$\frac{1}{2}$×(180°−α)=$\frac{1}{2}$α+90°.
(3)解法一:因为M、N分别是AC、BD的中点，所以MC=$\frac{1}{2}$AC，DN=$\frac{1}{2}$BD.因为CD=n，所以AC+BD=m−n，所以MN=CD+MC+DN=CD+$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BD=CD+$\frac{1}{2}$(AC+BD)=n+$\frac{1}{2}$(m−n)=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n.解法二:点M、N分别是AC、BD的中点，所以AM=$\frac{1}{2}$AC，BN=$\frac{1}{2}$BD.因为CD=n，所以AC+BD=m−n，所以MN=AB−(AM+BN)=AB−($\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BD)=AB−$\frac{1}{2}$(AC+BD)=m−$\frac{1}{2}$(m−n)=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n.