《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

典例3 解方程$:(1)4x-3(12-x)= 6x-2(8-x).(2)\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right)-8\right]=\frac{3x}{2}+1.[$变式]解方程$:(1)2x-\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{2}(x-1)\right]=\frac{2}{3}(x-1).(2)(2024·上海期中)x-\frac{0.1x-2}{0.3}= \frac{2+3x}{0.6}.$

答案：
(1)x=-20.
(2)x=-7$\frac{1}{4}$.
[变式]
(1)x=-$\frac{5}{13}$.
(2)x=$\frac{10}{13}$.

典例4 若关于x的一元一次方程ax= 4的整数解,也是关于x的一元一次方程9x-3= kx+14的整数解,且a为整数,求整数k的值.

答案： 因为ax=4,且x为整数,所以整数a=1或2或4或-1或-2或-4.所以对应的x=4或2或1或-4或-2或-1.因为9x-3=kx+14,所以(9-k)x=17.因为x,k为整数,所以9-k=17或-17或1或-1,解得k=-8或26或8或10.所以对应的x=1或-1或17或-17.所以两方程相同的整数解为x=±1,此时k的值为-8或26.

[变式]当m取什么整数时,关于x的方程$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}= \frac{1}{2}\left(x-\frac{4}{3}\right)$的解是正整数?

答案： 将方程$\frac{1}{2}$mx-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{2}$(x-$\frac{4}{3}$)整理,得(m-1)x=2.由题意,得m-1=1或m-1=2,解得m=2或m=3.

典例5 工厂制作两种规格的长方体纸盒的尺寸如下(单位:厘米,接头处忽略不计):
| |长|宽|高|
| 小纸盒 | m-0.5n | 1 | 2 |
| 大纸盒 | 3m-n | 2 | 3 |
(1)制作一个大纸盒和一个小纸盒共用纸板多少平方厘米(用含m,n的代数式表示)?
(2)当m= 3,n= 2时,求制作一大一小两个纸盒共用纸板多少平方厘米.
(3)班级现计划购买大纸盒10个,小纸盒a个(a＞10),现从A,B两家商店了解到两家商店的纸盒价格相同,大纸盒每个1.9元,小纸盒每个0.5元.A商店的优惠方案为每买一个大纸盒赠送一个小纸盒,B商店的优惠方案为大、小纸盒都按八折优惠.学校到两家商店购买纸盒各应付款多少元(用含a的代数式表示)?当a为何值时,到两家商店购买纸盒付款一样多?

答案：
(1)制作一个小纸盒用纸板2(m-0.5n)×1+2×1×2+2×(m-0.5n)×2=2m-n+4+4m-2n=(6m-3n+4)平方厘米,制作一个大纸盒用纸板2(3m-n)×2+2×2×3+2(3m-n)×3=12m-4n+12+18m-6n=(30m-10n+12)平方厘米,所以制作一个大纸盒和一个小纸盒共用纸板6m-3n+4+(30m-10n+12)=(36m-13n+16)平方厘米.
(2)当m=3,n=2时,36m-13n+16=36×3-13×2+16=98.所以制作一大一小两个纸盒共用纸板98平方厘米.
(3)由题意,得到A商店购买纸盒应付款1.9×10+0.5(a-10)=(0.5a+14)元,到B商店购买纸盒应付款1.9×10×0.8+0.5×0.8a=(0.4a+15.2)元,所以0.5a+14=0.4a+15.2,解得a=12.所以到A商店购买纸盒应付款(0.5a+14)元,到B商店购买纸盒应付款(0.4a+15.2)元.当a的值为12时,到两家商店购买纸盒付款一样多.