《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

9. 若$x = 1是关于x的方程x^2 + ax + 2b = 0$的解,则$2a + 4b$的值是-2。

答案： -2 解析：把$ x = 1 $代入方程$ x^2 + ax + 2b = 0 $，得$ 1 + a + 2b = 0 $，所以$ a + 2b = -1 $. 所以$ 2a + 4b = 2(a + 2b) = 2 × (-1) = -2 $.

10. 一个长方形的周长为 30 cm。若将这个长方形的长减少 1 cm,宽增加 2 cm,则可以变成一个正方形。设这个长方形的长为$x$ cm,则可列方程为$ x - 1 = (15 - x) + 2 $。

答案： $ x - 1 = (15 - x) + 2 $

11. (2024·太原一模)目前,某市很多小区都设置了智能垃圾回收机,居民按要求分类投递垃圾,就能获取可提现的“环保金”。已知某小区智能回收机早晚高峰时段“环保金”发放标准为 0.8 元/千克,其他时段为 1 元/千克,新用户注册赠送 3.88 元“环保金”。李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递 6.7 千克垃圾,共得“环保金”10.3 元。设李阿姨在高峰时段投递的垃圾质量为$x$千克,则$x$满足的方程为$ 0.8x + (6.7 - x) + 3.88 = 10.3 $。

答案： $ 0.8x + (6.7 - x) + 3.88 = 10.3 $

12. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”。如图①,从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数$x$,$y$的系数与相应的常数项,即可表示方程$x + 4y = 23$,则如图②,表示的方程是$ x + 2y = 32 $。

答案： $ x + 2y = 32 $

13. 七年级(2)班的一个综合实践活动小组去 A,B 两家超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况。如图所示为调查后三名同学进行交流的情景,根据他们的对话,求 A 超市去年“五一”期间的销售额(只需列出方程即可)。

答案： 设A超市去年的销售额为$ x $万元，则A超市今年的销售额为$(1 + 15\%)x$万元，B超市去年的销售额为$(150 - x)$万元，B超市今年的销售额为$(1 + 10\%)(150 - x)$万元. 由题意，可列方程为$ 170 = (1 + 15\%)x + (1 + 10\%)(150 - x) $.

14. 已知$12a^2b^n与-\frac{1}{2}a^mb^3$是同类项,判断$m + n的值是否为方程2y - 3= -3y + 22$的解。

答案： 因为$ 12a^2b^n $与$ -\frac{1}{2}a^mb^3 $是同类项，所以$ m = 2 $，$ n = 3 $. 所以$ m + n = 5 $. 当$ y = 5 $时，方程的左边$ = 2 × 5 - 3 = 7 $，方程的右边$ = -3 × 5 + 22 = 7 $. 所以方程的左边=方程的右边. 所以$ m + n $的值是方程$ 2y - 3 = -3y + 22 $的解.

15. 已知$a$是不为 0 的整数,关于$x的方程ax^{|a|}-bx^2 + x - 2 = 0$是一元一次方程,求$a + b$的值与方程的解。

答案： 由题意，得$ a = b $，$|a| = 2$或$|a| = 1$，$ b = 0 $. ① $ a = b $，$|a| = 2 $. 当$ a = 2 $时，$ b = 2 $，方程为$ x - 2 = 0 $. 所以$ a + b = 4 $，方程的解为$ x = 2 $. 当$ a = -2 $时，$ b = -2 $，方程为$ x - 2 = 0 $. 所以$ a + b = -4 $，方程的解为$ x = 2 $. ② $ |a| = 1 $，$ b = 0 $. 当$ a = 1 $时，原方程可化为$ x + x - 2 = 0 $. 所以$ x = 1 $，此时$ a + b = 1 $. 当$ a = -1 $时，原方程可化为$ -x + x - 2 = 0 $，该等式不成立，不符合题意. 综上所述，$ a + b = 4 $，方程的解为$ x = 2 $或$ a + b = -4 $，方程的解为$ x = 2 $或$ a + b = 1 $，方程的解为$ x = 1 $.