《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

9. 新考法·阅读理解题(2025·重庆渝中期末)【阅读材料】
材料一:N 进制数与十进制数之间的转换.
将 N 进制数转化为十进制数时,只要将N 进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂,然后将这些乘积相加,就可得到与其相等的十进制数,规定:$a^{0}= 1(a≠0)$.例如:$(1302)_{5}= 1×5^{3}+3×5^{2}+0×5^{1}+2×$$5^{0}= 202.$
将十进制数转化为与其相等的 N 进制数,用十进制数除以基数n,然后将商继续除以n,直到商为0,将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可.
例如,将89转化为五进制数:
因为$89÷5= 17... 4,17÷5= 3... 2,3÷5= 0... 3$,所以$89= (324)_{5}.$
材料二:二进制数加减运算的法则.
加法法则:$0+0= 0,0+1= 1,1+0= 1,1+1= 10.$
减法法则:$0-0= 0,0-1= -1,1-0= 1,10-1= 1$(同一数位不够减时,向高一位借1当2).
根据以上法则,二进制数的加减法可类比十进制数的竖式加法、减法规则进行运算.
$\begin{array}{r} (101)_{2}\\ +(10)_{2}\\ \hline (111)_{2}\end{array} $,$\begin{array}{r} (111)_{2}\\ +(10)_{2}\\ \hline (1001)_{2}\end{array} $
例如: ,
所以$(101)_{2}+(10)_{2}= (111)_{2},(111)_{2}+(10)_{2}= (1001)_{2}.$
$\begin{array}{r} (1111)_{2}\\ -(101)_{2}\\ \hline (1010)_{2}\end{array} $,$\begin{array}{r} (1101)_{2}\\ -(110)_{2}\\ \hline (111)_{2}\end{array} $
例如: ,
所以$(1111)_{2}-(101)_{2}= (1010)_{2},(1101)_{2}-(110)_{2}= (111)_{2}.$
【解决问题】
(1) 将六进制数$(251)_{6}$转化成十进制数,结果为______;将十进制数73转化成二进制数,结果为______.
(2) 计算(列竖式表示加减过程,结果用二进制数表示):
①$(1110)_{2}+(1011)_{2};$
②$(10110)_{2}-(1011)_{2}.$
(3) 探究二进制的乘法法则:

根据以上乘法法则,计算:$(1101)_{2}×(101)_{2}$(结果用二进制数表示).

答案：

(1) 103；1001001.　解析：$(251)_{6}=2× 6^{2}+5× 6^{1}+1× 6^{0}=72 + 30 + 1 = 103$. $73÷ 2 = 36\cdots\cdots1$，$36÷ 2 = 18\cdots\cdots0$，$18÷ 2 = 9\cdots\cdots0$，$9÷ 2 = 4\cdots\cdots1$，$4÷ 2 = 2\cdots\cdots0$，$2÷ 2 = 1\cdots\cdots0$，$1÷ 2 = 0\cdots\cdots1$，
所以将十进制数73转化成二进制数，结果为1001001.
(2)①　　　
所以$(1110)_{2}+(1011)_{2}=(11001)_{2}$.
②　　
所以$(10110)_{2}-(1011)_{2}=(1011)_{2}$.
(3)由题意，填表如下：
根据以上乘法法则，得　　　　
所以$(1101)_{2}×(101)_{2}=(1000001)_{2}$.