《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

10. 已知$(a× b)^2= a^2× b^2$,$(a× b)^3= a^3× b^3$,$(a× b)^4= a^4× b^4$,$(a× b)^5= a^5× b^5$,…
(1)猜想：$(a× b)^n= $$a^n× b^n$.
(2)用学过的知识,说明(1)中猜想成立的理由.
理由：$(a× b)^n=$$\underbrace{(a× b)×(a× b)×\cdots×(a× b)}_{n个}=$$\underbrace{(a× a×\cdots× a)}_{n个}×\underbrace{(b× b×\cdots× b)}_{n个}=$$a^n× b^n$.
(3)计算：
① $(-1\frac{1}{2})^{1000}×(\frac{2}{3})^{1000}$.
原式$=(-\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{1000}=$$(-1)^{1000}=1$.
② $(-0.125)^{2025}×2^{2024}×4^{2023}$.
原式$=-(\frac{1}{8})^{2025}×2^{2024}×4^{2023}=-\frac{1}{64}×2×(\frac{1}{8}×2×4)^{2023}=-\frac{1}{32}$.

答案： （1）$a^n× b^n$.（2）理由：$(a× b)^n=$$\underbrace{(a× b)×(a× b)×\cdots×(a× b)}_{n个}=$$\underbrace{(a× a×\cdots× a)}_{n个}×\underbrace{(b× b×\cdots× b)}_{n个}=$$a^n× b^n$.（3）① 原式$=(-\frac{3}{2}×\frac{2}{3})^{1000}=$$(-1)^{1000}=1$.② 原式$=-(\frac{1}{8})^{2025}×2^{2024}×4^{2023}=-(\frac{1}{8})^2×(\frac{1}{8})^{2023}×2×2^{2023}×4^{2023}=-\frac{1}{64}×2×(\frac{1}{8}×2×4)^{2023}=-\frac{1}{32}$.

11. 观察下列各式：
$1^3+2^3= 9= \frac{1}{4}×4×9= \frac{1}{4}×2^2×3^2$；
$1^3+2^3+3^3= 36= \frac{1}{4}×9×16= \frac{1}{4}×3^2×4^2$；
$1^3+2^3+3^3+4^3= 100= \frac{1}{4}×16×25= \frac{1}{4}×4^2×5^2$……
(1)计算：$1^3+2^3+3^3+4^3+…+10^3$.
(2)试猜想$1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3$的值.

答案： （1）原式$=\frac{1}{4}×10^2×(10+1)^2=$$\frac{1}{4}×100×121=3025$.（2）原式$=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$.

12. (2025·安阳林州期末)计算$(-\frac{1}{4})^{2025}×16^{1012}$的结果是(B)
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.4
D.-4

答案： B 解析：$(-\frac{1}{4})^{2025}×16^{1012}=$$(-\frac{1}{4})^{2025}×(4^2)^{1012}$.因为$4^2$表示两个4相乘，所以易知$(4^2)^{1012}$表示2024个4相乘，即$(4^2)^{1012}=4^{2024}$.所以原式$=(-\frac{1}{4})^{2025}×4^{2024}=-\frac{1}{4}×(-\frac{1}{4})^{2024}×4^{2024}=-\frac{1}{4}×(\frac{1}{4})^{2024}×4^{2024}=-\frac{1}{4}×[(\frac{1}{4})^{2024}×4^{2024}]=$$-\frac{1}{4}×1=-\frac{1}{4}$.

13. 如果$a^b= N(a＞0,a\neq1,N＞0)$,那么b叫作以a为底N的对数,记作$\log_aN= b$,例如：因为$5^3= 125$,所以$\log_5125= 3$. 因为$11^2= 121$,所以$\log_{11}121= 2$.
(1)填空：$\log_33=$1,$\log_{0.5}\frac{1}{16}=$4.
(2)如果$\log_5|m-4|= 2$,求m的值.
因为$\log_5|m-4|=2$，所以$|m-4|=25$，解得$m=29$或$m=-21$.
(3)若$\log_327+\log_4x= \log_232$,求$2(x-1)$的值.
因为$3^3=27$，$2^5=32$，所以$\log_327=3$，$\log_232=5$.所以$\log_327+\log_4x=\log_232$可化为$3+\log_4x=5$.所以$\log_4x=2$.所以$x=16$.所以$2(x-1)=2×(16-1)=30$.

答案： （1）1:4.（2）因为$\log_5|m-4|=2$，所以$|m-4|=25$，解得$m=29$或$m=-21$.（3）因为$3^3=27$，$2^5=32$，所以$\log_327=3$，$\log_232=5$.所以$\log_327+\log_4x=\log_232$可化为$3+\log_4x=5$.所以$\log_4x=2$.所以$x=16$.所以$2(x-1)=2×(16-1)=30$.