《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

10. 要使关于 x,y 的多项式$my^{3}+3nx^{2}y+2y^{3}-x^{2}y+y$不含三次项,则 2m + 3n 的值为 (D)
A.0
B.-5
C.5
D.-3

答案： D 解析:由题意，得m+2=0,3n-1=0,解得m=-2,n=1/3.所以2m+3n=-4+1=-3.

11. 若单项式$2x^{2}y^{a+b}与-\frac{1}{3}x^{a-1}y^{4}$是同类项,则$a - b= $2.

答案： 2 解析:由题意知，a-1=2,a+b=4.所以a=3,b=1.所以a-b=2.

12. 当常数 k 的值为1/25时,$x^{6}-5kx^{4}y^{3}-4x^{6}+\frac{1}{5}x^{4}y^{3}+10中不含x^{4}y^{3}$项.

答案： 1/25

13. 若关于 x 的多项式$ax^{2}-abx+b与bx^{2}+abx+2a$的和是一个单项式,则 a 与 b 的关系是a=-b或b=-2a.

答案： a=-b或b=-2a 解析:根据题意，得ax²-abx+b+bx²+abx+2a=(a+b)x²+2a+b.因为和是单项式，所以a+b=0或2a+b=0,即a=-b或b=-2a.

14. 整体思想 (2025·郴州期末)我们知道,$5x-3x+x= (5-3+1)x= 3x$,类似地,我们把$(a+b)$看成一个整体,则$5(a+b)-3(a+b)+(a+b)= (5-3+1)(a+b)= 3(a+b)$. “整体思想”是数学中一种重要的思想方法,它的应用极为广泛.
(1)化简：$4(a-b)^{2}-5(a-b)^{2}+3(a-b)^{2}$(结果保留整体$a - b$).
(2)若$A= \frac{2}{3}(3x^{2}-2x+3)-2(3x^{2}-2x+3)+\frac{7}{3}(3x^{2}-2x+3)$,$B= 6x^{2}-4x-4$.
① 求 A - B 的值(结果保留整体$3x^{2}-2x+3$).
② 若$A - B= 10$,且式子$6x^{2}-4x+5= k$是恒等式,求 k 的值.

答案：
(1) 4(a-b)²-5(a-b)²+3(a-b)²=2(a-b)².
(2) A=2/3(3x²-2x+3)-2(3x²-2x+3)+7/3(3x²-2x+3)=(2/3-2+7/3)(3x²-2x+3)=3x²-2x+3,B=6x²-4x+6-10=2(3x²-2x+3)-10.
① A-B=3x²-2x+3-2(3x²-2x+3)+10=(1-2)(3x²-2x+3)+10=-(3x²-2x+3)+10.
② 因为A-B=10,
所以-(3x²-2x+3)+10=10.
所以3x²-2x+3=0.
所以6x²-4x+6=0.
因为k=6x²-4x+5,
所以k=6x²-4x+6-1=0-1=-1.

15. 若关于 x,y 的多项式$3x^{3}-mx+4y^{2}-2x^{3}+5x-ny^{2}$化简后不含一次项和二次项,求$m^{2}+n^{2}$的值.

答案： 3x³-mx+4y²-2x³+5x-ny²=x³+(5-m)x+(4-n)y².
因为化简后不含一次项和二次项，所以5-m=0,4-n=0,解得m=5,n=4.
所以m²+n²=25+16=41.

16. 如果整式 A 与整式 B 的和为一个有理数 a,那么称 A,B 为数 a 的“友好整式”. 例如：$x - 4与-x + 5$为数 1 的“友好整式”. 若关于 x 的整式$4x^{3}-kx^{2}+6与-4x^{3}-3x^{m}+k - 1$为数 n 的“友好整式”,求 mn 的值.

答案： 因为关于x的整式4x³-kx²+6与-4x³-3xᵐ+k-1为数n的“友好整式”，所以4x³-kx²+6-4x³-3xᵐ+k-1=-kx²-3xᵐ+5+k=n.所以m=2,-k-3=0,5+k=n.所以m=2,k=-3,n=2.所以mn=2×2=4.