《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

1. 定义:a,b,m 为有理数,若a+b= m,则称a与b 是关于$\frac{m}{2}$的“对称数”.
(1)2 与4 是关于3的“对称数”;5-x与1+x是关于3的“对称数”.
(2)若$a= -2x^{2}+3x-4$,$b= -5x+2x^{2}+2$,且a与b是关于-1的“对称数”,试求出x的值.
因为a=-2x²+3x-4，b=-5x+2x²+2，且a与b是关于-1的“对称数”，所以a+b=-1×2.所以-2x²+3x-4-5x+2x²+2=-2，解得x=0.

答案： （1）3；1+x.
（2）因为a=-2x²+3x-4，b=-5x+2x²+2，且a与b是关于-1的“对称数”，所以a+b=-1×2.所以-2x²+3x-4-5x+2x²+2=-2，解得x=0.

2. 给出如下定义:我们把有序数对(a,b,c)叫作关于x的二次多项式$ax^{2}+bx+c$的“附属系数对”,把关于x的二次多项式$ax^{2}+bx+c$叫作有序数对(a,b,c)的“附属多项式”.
(1)关于x的二次多项式$x^{2}-2x+3$的“附属系数对”为（1，-2，3）.
(2)有序数对(a,2,-1)的“附属多项式”与有序数对(-3,-2,4)的“附属多项式”的差中不含二次项,求a的值.
依题意，得（ax²+2x-1）-（-3x²-2x+4）=ax²+2x-1+3x²+2x-4=（a+3）x²+4x-5.因为差中不含二次项，所以a+3=0，解得a=-3.

答案： （1）（1，-2，3）.
（2）依题意，得（ax²+2x-1）-（-3x²-2x+4）=ax²+2x-1+3x²+2x-4=（a+3）x²+4x-5.因为差中不含二次项，所以a+3=0，解得a=-3.

3. 规定一种新运算:$(a,b)\otimes (c,d)= ad-bc$,如$(2,1)\otimes (4,3)= 2×3-1×4= 2$.
(1)求$(-3,5)\otimes (-2,1)$的值.
(2)化简:$(x+y,-1)\otimes (x-y,3)$.
(3)若$(2,x)\otimes (2k,x-k)$的值与x的取值无关,求k的值.

答案： （1）因为（a，b）⊗（c，d）=ad-bc，所以（-3，5）⊗（-2，1）=（-3）×1-5×（-2）=-3+10=7.
（2）因为（a，b）⊗（c，d）=ad-bc，所以（x+y，-1）⊗（x-y，3）=3（x+y）-[ -（x-y）]=3x+3y+x-y=4x+2y.
（3）因为（a，b）⊗（c，d）=ad-bc，所以（2，x）⊗（2k，x-k）=2（x-k）-x·2k=2x-2k-2kx=（2-2k）x-2k.因为（2，x）⊗（2k，x-k）的值与x的取值无关，所以2-2k=0.所以k=1.

4. 定义:如果$2^{m}= n$(m,n 为正数),那么我们把m叫作n的D数,记作$m= D(n)$.
(1)$D(2)=$1,$D(16)=$4.
(2)D数有如下运算性质:$D(st)= D(s)+D(t)$,$D(\frac{q}{p})= D(q)-D(p)$,其中$q＞p$.若$D(3)= 2a-b$,$D(5)= a+c$,试求$D(15)$,$D(\frac{5}{3})$,$D(108)$,$D(\frac{27}{20})$的值(用含a,b,c的代数式表示).
$D(15)=D(3)+D(5)=(2a-b)+(a+c)=3a-b+c$.
$D(\frac{5}{3})=D(5)-D(3)=(a+c)-(2a-b)=a+c-2a+b=-a+b+c$.
$D(108)=D(3×3×3×2×2)=3×D(3)+2×D(2)=3(2a-b)+2×1=6a-3b+2$.
$D(\frac{27}{20})=D(27)-D(20)=D(3×3×3)-D(5×2×2)=3×D(3)-[D(5)+2×D(2)]=3×(2a-b)-[(a+c)+2×1]=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2$.

答案： （1）1；4.
（2）D（15）=D（3）+D（5）=（2a-b）+（a+c）=3a-b+c.D（5/3）=D（5）-D（3）=（a+c）-（2a-b）=a+c-2a+b=-a+b+c.D（108）=D（3×3×3×2×2）=3×D（3）+2×D（2）=3（2a-b）+2×1=6a-3b+2.D（27/20）=D（27）-D（20）=D（3×3×3）-D（5×2×2）=3×D（3）-[D（5）+2×D（2）]=3×（2a-b）-[（a+c）+2×1]=6a-3b-a-c-2=5a-3b-c-2.