《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

11. 有一些相同的房间的墙面需要粉刷.一天,3名师傅去粉刷8个房间的墙面,结果有$40m^2$的墙面没来得及粉刷.在相同的时间内,5名徒弟粉刷了9个房间的墙面.若每名师傅比徒弟一天多粉刷$30m^2$的墙面,则每个房间需要粉刷的墙面面积为$50m^2.$

答案： 50

12.(2025·兰州榆中期末)方程3(2x-1)+2(1-2x)= 2(2x-1)+3可以有多种不同的解法,观察此方程,设2x-1= y.
(1)原方程可变形为3y-2y= 2y+3,解方程,得y=-3,从而可得x=-1.
(2)上述解法所用到的数学思想是换元思想.
(3)利用上述方法解方程：6(4x-3)+2(3-4x)= 3(4x-3)+5.
设4x-3=y.原方程变形为6y-2y=3y+5.移项、合并同类项,得y=5.所以4x-3=5,解得x=2.

答案：
(1)-3;-1.
(2)换元思想.
(3)设$4x-3=y$.原方程变形为$6y-2y=3y+5$.移项、合并同类项,得$y=5$.所以$4x-3=5$,解得$x=2$.

13.(2025·福州期末)已知$\frac{a-3}{5}= \frac{b+2}{3}$.
(1)判断3a与5b+19是否相等,并说明理由.
(2)当a= 3x+5,b= 2x-1,求x的值.

答案：
(1)$3a=5b+19$.理由:因为$\frac{a-3}{5}=\frac{b+2}{3}$,所以$15×\frac{a-3}{5}=15×\frac{b+2}{3}$.所以$3(a-3)=5(b+2)$.所以$3a-9=5b+10$.所以$3a=5b+10+9$.所以$3a=5b+19$.
(2)把$a=3x+5$,$b=2x-1$代入$3a=5b+19$,得$3(3x+5)=5(2x-1)+19$.所以$9x+15=10x-5+19$.所以$9x-10x=-5+19-15$.所以$-x=-1$.所以$x=1$.

14.(2025·滁州期末)如果两个一元一次方程的解互为相反数,那么我们就称这两个方程互为“和谐方程”,例如：方程2x= 4和方程3x+6= 0互为“和谐方程”.若无论b取何值,关于x的方程$\frac{2x+bc}{3}= \frac{d}{2}+b$(c,d为常数)与方程y+1= 2y-2都是互为“和谐方程”,则c+d的值为 (B)
A.0
B.-1
C.1
D.7

答案： B

15.(2025·泰州泰兴期末)如果2m+3n= 5(m+n),那么我们把数m和n称为等式2m+3n= 5(m+n)的“共和数对”,记作[m,n].
(1)[4,6],$[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$可以称为等式2m+3n= 5(m+n)的“共和数对”的是______$\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]$.
(2)若$[2,\frac{1}{3}x]$是等式2m+3n= 5(m+n)的“共和数对”,求x的值.
因为$\left[2,\frac{1}{3}x\right]$是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$2×2+3×\frac{1}{3}x=5\left(2+\frac{1}{3}x\right)$,解得$x=-9$.
(3)已知a为常数,无论k取何值,[ak-a,-3k+3]总是等式2m+3n= 5(m+n)的“共和数对”,求a的值.
因为$[ak-a,-3k+3]$是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$2(ak-a)+3(-3k+3)=5[(ak-a)+(-3k+3)]$.整理,得$(3a-6)k=3a-6$.因为无论$k$取何值,$[ak-a,-3k+3]$总是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$3a-6=0$.所以$a=2$.

答案：
(1)$\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]$.
(2)因为$\left[2,\frac{1}{3}x\right]$是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$2×2+3×\frac{1}{3}x=5\left(2+\frac{1}{3}x\right)$,解得$x=-9$.
(3)因为$[ak-a,-3k+3]$是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$2(ak-a)+3(-3k+3)=5[(ak-a)+(-3k+3)]$.整理,得$(3a-6)k=3a-6$.因为无论$k$取何值,$[ak-a,-3k+3]$总是等式$2m+3n=5(m+n)$的"共和数对",所以$3a-6=0$.所以$a=2$.