《2025年拔尖特训七年级数学上册人教版》

8. (2024·甘肃)定义一种新运算“*”,规定运算法则为$m*n= m^{n}-mn$(m,n均为整数,且$m≠0$). 例如：$2*3= 2^{3}-2×3= 2$,则$(-2)*2= $8.

答案： 8

9. (2025·通辽期末)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2,求$\frac{|a+b|}{2m^{2}+1}+4m-3cd$的值.

答案： 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，所以$a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm2$.当$m=2$时，$\frac{|a+b|}{2m^{2}+1}+4m-3cd=0+8-3=5$.当$m=-2$时，$\frac{|a+b|}{2m^{2}+1}+4m-3cd=0-8-3=-11$.

10. 嘉嘉在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键,再输入“b”,就可以得到运算$a★b= |2-a^{2}|÷b+1$.
(1)计算：$(-3)★2$.
(2)小明用嘉嘉设置的程序计算(1)中的题目时,不小心将“-3”输入成了“3”,请你通过计算说明,小明得到的运算结果与(1)中的结果是否相同.
(3)淇淇使用嘉嘉设置的运算程序时,屏幕显示：该操作无法进行. 你能指出淇淇在什么地方出错了吗？

答案： （1）$(-3)\star 2=|2-(-3)^{2}|÷2+1=|2-9|÷2+1=7÷2+1=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$.
（2）$3\star 2=|2-3^{2}|÷2+1=|2-9|÷2+1=7÷2+1=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$.由（1）知，$(-3)\star 2$的结果是$\frac{9}{2}$，所以小明得到的运算结果与（1）中的结果相同.
（3）淇淇输入的第二个数为0，b是除数，除数不能为0，没有意义，故该操作无法进行.

11. 阅读材料：
求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{2025}$的值.
解：设$S= 1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{2025}$①.
将等式两边同时乘2,得$2S= 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{2025}+2^{2026}$②.
由②-①,得$2S-S= 2^{2026}-1$,即$S= 2^{2026}-1$.
所以$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{2025}= 2^{2026}-1$.
请你仿照此方法计算：
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+... +2^{9}= $$2^{10}-1$.
(2)$1+7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+... +7^{n}$(n为正整数).
设$S=1+7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+\cdots+7^{n}$①.将等式两边同时乘7，得$7S=7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+7^{5}+\cdots+7^{n}+7^{n+1}$②.由②-①，得$7S-S=7^{n+1}-1$，即$S=\frac{7^{n+1}-1}{6}$.所以$1+7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+\cdots+7^{n}=\frac{7^{n+1}-1}{6}$.
(3)$1+2×2+3×2^{2}+4×2^{3}+... +9×2^{8}+10×2^{9}$.
设$S=1+2×2+3×2^{2}+4×2^{3}+\cdots+9×2^{8}+10×2^{9}$①.将等式两边同时乘2，得$2S=2+2×2^{2}+3×2^{3}+4×2^{4}+\cdots+9×2^{9}+10×2^{10}$②.由①-②，得$S-2S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}-10×2^{10}$.由（1），得$1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}=2^{10}-1$.所以$-S=2^{10}-1-10×2^{10}$，即$S=9×2^{10}+1$.所以$1+2×2+3×2^{2}+4×2^{3}+\cdots+9×2^{8}+10×2^{9}=9×2^{10}+1$.

答案： （1）$2^{10}-1$.
（2）设$S=1+7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+\cdots+7^{n}$①.将等式两边同时乘7，得$7S=7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+7^{5}+\cdots+7^{n}+7^{n+1}$②.由②-①，得$7S-S=7^{n+1}-1$，即$S=\frac{7^{n+1}-1}{6}$.所以$1+7+7^{2}+7^{3}+7^{4}+\cdots+7^{n}=\frac{7^{n+1}-1}{6}$.
（3）设$S=1+2×2+3×2^{2}+4×2^{3}+\cdots+9×2^{8}+10×2^{9}$①.将等式两边同时乘2，得$2S=2+2×2^{2}+3×2^{3}+4×2^{4}+\cdots+9×2^{9}+10×2^{10}$②.由①-②，得$S-2S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}-10×2^{10}$.由（1），得$1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}=2^{10}-1$.所以$-S=2^{10}-1-10×2^{10}$，即$S=9×2^{10}+1$.所以$1+2×2+3×2^{2}+4×2^{3}+\cdots+9×2^{8}+10×2^{9}=9×2^{10}+1$.