《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

7. $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 三条边的垂直平分线的交点, $ OA = 8 $, 则 $ OA + OB + OC $ 的值是24.

答案： 24

8. 已知 $ C $, $ D $ 两点在线段 $ AB $ 的垂直平分线上, 且 $ \angle ACB = 50^{\circ} $, $ \angle ADB = 90^{\circ} $, 则 $ \angle CAD = $$ 110^{\circ} $ 或 $ 20^{\circ} $.

答案： $ 110^{\circ} $ 或 $ 20^{\circ} $

9. (2024·淮安期末)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD \perp BC $, $ EF $ 垂直平分 $ AC $, 交 $ AC $ 于点 $ F $, 交 $ BC $ 于点 $ E $, 且 $ BD = DE $.
(1) 若 $ \angle BAE = 40^{\circ} $, 求 $ \angle C $ 的度数;
(2) 若 $ \triangle ABC $ 的周长为 $ 20 \mathrm{~cm} $, $ AC = 8 \mathrm{~cm} $, 求 $ DC $ 长.

答案： 解：
(1) $\because AD \perp BC $，$ BD = DE $，
$\therefore AD $ 垂直平分线段 $ BE $，$\therefore AB = AE $，$\therefore \angle B = \angle AEB $．
$\because \angle BAE = 40^{\circ} $，$\therefore \angle AEB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAE) = 70^{\circ} $．
$\because EF $ 垂直平分 $ AC $，$\therefore EA = EC $，$\therefore \angle C = \angle EAC $．
又 $\because \angle AEB = \angle EAC + \angle C $，$\therefore \angle C = \frac{1}{2}\angle AEB = 35^{\circ} $．
(2) $\because \triangle ABC $ 的周长为 $ 20 \mathrm{cm} $，$ AC = 8 \mathrm{cm} $，
$\therefore AB + BC = 12 \mathrm{cm} $．
$\because AB = AE = CE $，$ BD = DE $，
$\therefore CE + DE = \frac{1}{2}(AB + BC) = 6 \mathrm{cm} $，即 $ DC = 6 \mathrm{cm} $．

10. (2024·海州区期中)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AC $ 边的垂直平分线分别交 $ BC $, $ AC $ 于点 $ E $, $ F $, 连接 $ AE $, 作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $, 且 $ D $ 为 $ BE $ 的中点.
(1) 试说明: $ AB = CE $;
(2) 若 $ \angle C = 32^{\circ} $, 求 $ \angle BAC $ 的度数.

答案： 解：
(1) $\because D $ 为 $ BE $ 的中点，$\therefore BD = DE $．
又 $\because AD \perp BC $ 于点 $ D $，$\therefore AB = AE $．
$\because EF $ 是 $ AC $ 的垂直平分线，$\therefore AE = EC $，$\therefore AB = CE $．
(2) $\because \angle C = 32^{\circ} $，$ AE = EC $，$\therefore \angle EAC = \angle C = 32^{\circ} $，
$\therefore \angle AEB = \angle EAC + \angle C = 32^{\circ} + 32^{\circ} = 64^{\circ} $．
又 $\because AB = AE $，$\therefore \angle B = \angle AEB = 64^{\circ} $，
$\therefore \angle BAE = 180^{\circ} - \angle B - \angle AEB = 52^{\circ} $，
$\therefore \angle BAC = \angle BAE + \angle CAE = 52^{\circ} + 32^{\circ} = 84^{\circ} $．

11. (2024·南充)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 为 $ BC $ 边的中点, 过点 $ B $ 作 $ BE // AC $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $.
(1) 求证: $ \triangle BDE \cong \triangle CDA $;
(2) 若 $ AD \perp BC $, 求证: $ BA = BE $.

答案： 1. （1）
解（证明）：
因为$BE// AC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle E=\angle CAD$。
又因为$D$为$BC$边的中点，所以$BD = CD$。
且$\angle BDE=\angle CDA$（对顶角相等）。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，$\begin{cases}\angle E=\angle CAD\\\angle BDE=\angle CDA\\BD = CD\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
2. （2）
解（证明）：
因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB=\angle ADE = 90^{\circ}$。
由（1）知$\triangle BDE\cong\triangle CDA$，所以$AD = ED$。
在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，$\begin{cases}AD = ED\\\angle ADB=\angle EDB\\BD = BD\end{cases}$。
根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle EBD$。
再根据全等三角形的对应边相等，所以$BA = BE$。