《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

8. (2024·东海县期中)如图,$A$,$C$,$E$三点在同一条直线上,$\angle ACB= \angle E = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AE = CE + DE$.
(1)求证：$AC = DE$；
(2)求$\angle BAD$的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为$AE = CE + DE$，且$AE=AC + CE$（$A$，$C$，$E$三点共线）。
根据等量代换可得：$AC + CE=CE + DE$。
两边同时减去$CE$，所以$AC = DE$。
2. （2）
因为$\angle ACB=\angle E = 90^{\circ}$，$AB = AD$，$AC = DE$（已证）。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DAE$中，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\AC = DE\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DAE$。
则$\angle BAC=\angle D$。
因为$\angle D+\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle DAE = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAD+\angle BAC+\angle DAE = 180^{\circ}$（$A$，$C$，$E$三点共线）。
把$\angle BAC+\angle DAE = 90^{\circ}$代入$\angle BAD+\angle BAC+\angle DAE = 180^{\circ}$，得$\angle BAD=90^{\circ}$。
综上，（1）已证$AC = DE$；（2）$\angle BAD = 90^{\circ}$。

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CA = CB$,$D是AC$上一点,点$E在BC$的延长线上,且$AE = BD$,$BD的延长线与AE交于点F$.试通过观察、测量、猜想等方法来探索$BF与AE$有何特殊的位置关系,并证明你的猜想.

答案： 解: BF⊥AE. 证明如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
∵BC=AC,BD=AE,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL),
∴∠CBD=∠CAE.
又
∵∠CAE+∠E=90°,
∴∠EBF+∠E=90°,
∴∠BFE=90°,即 BF⊥AE.

10. 如图,$AC\perp BC$,$AD\perp BD$,$AD = BC$,$CE\perp AB$,$DF\perp AB$,垂足分别是$E$,$F$.
求证：(1)$\triangle ABC\cong\triangle BAD$；
(2)$CE = DF$.

答案： 1. 证明$\triangle ABC\cong\triangle BAD$：
解：
因为$AC\perp BC$，$AD\perp BD$，所以$\angle ACB=\angle BDA = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = AD\\AB = BA\end{array}\right.$（$AB$为公共边）。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$。
2. 证明$CE = DF$：
解：
因为$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，所以${S}_{\triangle ABC}={S}_{\triangle BAD}$。
又因为${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE$，${S}_{\triangle BAD}=\frac{1}{2}AB\cdot DF$。
所以$\frac{1}{2}AB\cdot CE=\frac{1}{2}AB\cdot DF$，两边同时除以$\frac{1}{2}AB$（$AB\neq0$），可得$CE = DF$。
综上，（1）$\triangle ABC\cong\triangle BAD$得证；（2）$CE = DF$得证。